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Abschnitt XXIV.

naten ( 2 , cp) eingeführt, ferner das Lot P vom Pol C auf die Tan-gente = p, und der Winkel CZP des Radiusvektor gegen die Tan-gente = tfc (vgl. Fig. 40). Es ist dann:

r =

z ■ dz

df ’

0)

also:

, zdq>

*8*“ rfT’

dcp -

pdz

z V zi — j

( 2 )

( 3 )

Z* r \

Da r = , folgt aus (1) durch Integration,

= 1 gesetzt wird:

p = a log z.

und somit ist nach (3):

wobei die Konstante

(■±)

dcp

a log zdzz^z* — (a*logz)*

0>)

Hieraus läßt sich ds bestimmen und integrieren; es ergibt sich

s — acp = — (a logz) 8 + c,

also, wenn c = 0 gesetzt wird (vgl. Fig. 40):

acp = AZ-FZ.

Aus der Figur folgt noch:

• i Psm xl> = ,

also nach (4):

ci log z „.

sin i> = -JL -. (6)

Die Integration von (5) ist nicht ausführbar, daher versuchtEuler durch eine scharfsinnige Diskussion dieser Gleichungen denangenäherten Verlauf der Kurve herzuleiten. Zunächst ist zu be-merken, daß sich zwei wesentlich verschiedene Fälle ergeben, je nach-dem a größer oder kleiner als die Basis e des natürlichen Loga-rithmensvstems ist. Euler behandelt zunächst den

1) Fall: er < e.

In diesem Fall gibt es nur einen Wert von z, der den Radi-kanden 2 ä — (a log z)* zum Verschwiuden bringt; denn der Faktor— a log z kann in diesem Fall überhaupt nicht verschwinden. Be-zeichnet man jenen Wert von z mit /, so ist also f + a log f = 0.

Beispielsweise ist für a = 1 angenähert f = —.

wie Euler bemerkt, nahezu = —woraus

]/jt

Dieser Wert ist,er vermutet, daß