j L Höhere ebene Kurven.

499

der genaue Wert sei. Trägt inan nun (vgl. Fig. 41) auf der

y«

Achse ein Stück CF = f ab, so wird für diesen Wert von z nach((i) sin it' = — 1; die Kurve steht also auf der Achse senkrecht. Nunschließt Euler aus (5), daß dcp zunächst negativ sei, solange z<e,da ja dann log 2 negativ ist. Hier liegt nun offenbar ein Versehenvor; denn die Wurzel im Nenner hat ja ein Doppelzeichen, also mußdie Kurve zur Achse symmetrisch sein. — Euler zeigt nun, daß dieKurve von F ab mit wachsendem z unter die Achse herunter geht,bis für z = 1 d<p = 0, und ip = 0 wird; d. h. die Kurve berührt hierden Radiusvektor. Für weiter wachsende z nimmt sin zu, erreichtsein Maximum für z — e, und nimmt von da an immer ab. Der

z i

Krümmungsradius nimmt gemäß der Gleichung r = mit wachsen-

dem z sehr rasch zu. Den Verlauf der Kurve für sehr große Wertevon z bestimmt Euler durch etwas gewagte Schlüsse dahin, daß sie

zu einer Geraden, die mit der Achse einen Winkel =

bildet (wo k eine sehr große Zahl ist), ähnlich verläuft, wie dieParabel zu ihrer Achse. Vielleicht ist es richtiger, daß die Kurve

Fig. 41.

für sehr große Werte von z in rasch größer werdenden Spiralen umden Pol läuft. Auf Grund dieser Überlegungen bestimmt Euler füra = 1 die Gestalt der Kurve in der durch Fig. 41 angedeutetenWeise, wobei der von ihm nicht gezeichnete symmetrische zweite Zweigder Kurve gestrichelt beigefügt ist.

2. Fall: a > e. Hier erhalten die Kurven eine wesentlichandere Gestalt. Es gibt nämlich jetzt drei Werte von z, die denAusdruck z 2 — (a log z) 2 zum Verschwinden bringen: einmal den schonim 1. Fall genannten, für den ,z-|-alog£ = 0 ist, und der wiedermit /’ bezeichnet wird, und dann noch zwei weitere, g und h, fürwelche z — a log z = 0 ist, und von denen der eine zwischen 1 unde, der andere zwischen e und oo liegt. Die Werte g und h genügendabei noch der Gleichung:

9 = h

log g log h

Caxtob, Geschichte der Mathematik IV.

33