Abschnitt XXIV.

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Für Werte von z zwischen y und h wird die Kurve imaginär, ebensofür z <f. Die Kurve zerfällt also in zwei getrennte Zweige, vondenen der eine außerhalb des Kreises mit Radius h, der anderezwischen den Kreisen mit den Raden f und g liegt. In den Punkten,wo z = z = g, z = h ist, steht der Radiusvektor auf der Tangentesenkrecht; für z = 1 berührt er die Kurve.

Auf Grund ähnlicher Überlegungen wie im ersten Fall findetEuler die in Fig. 42 angedeutete Gestalt der Kurve, wobei g = ]/3

/( = 3 : o = und /'angenähert = “ a ist. Hierbei ist also

' ’ log 3 in 3 a -)- 3

CF = f\ Cg = CG = </; CH = /;; CE = e; CA — 1. Die Symmetrie

zur Achse wird diesmal berücksichtigt. Deräußere Zweig verläuft ähnlich, wie die Kurveim 1. Fall für große Werte von z. Die An-zahl der Windungen des inneren Kurven-zweiges hängt vom Verhältnis der ECgzu 860° ab. Euler bemerkt noch, daß dieserWinkel um so kleiner sei, je mehr f und gsich dem gemeinsamen Wert 1 nähern, undum so größer, je mehr sich g und h demgemeinsamen Wert e nähern, und folgertdaraus, daß für a — e, in welchem Fall auchg und h = e werden, dieser Winkel ECgunendlich groß werde, d. h. daß die Kurveerst nach unendlich vielen Umdrehungen den Kreis mit Radius e er-reiche, um dann in den äußeren Zweig überzugehen. Schließlichmacht Euler darauf aufmerksam, daß der Kreis mit Radius a, der

ja ofiensichtlich der Gleichung z = - genügt, gar nicht auftritt, und

bemerkt: „istum casum quasi per divisionem e calculo expulsum fore“.

Die hier behandelte Frage ist ein spezieller Fall eines allgemei-neren, die Fuß untersucht in einer Arbeit vom 24. April 1788:„Solutio problematis ex methodo tangentium inversa“ 1 ). Fuß knüpfthier an ein Paradoxon an, nämlich daß alle Kurven, deren Krüm-mungsradius gleich dem Radiusvektor ist, sich rektifizierenlassen, und daß dies für den Kreis (der doch sicher auch zudiesen Kurven gehört), bekanntlich nicht zutrifft. Er sucht nunzu einer Lösung dieses Paradoxons zu gelangen, indem er sich dieAufgabe stellt, alle Kurven zu finden, deren Krümmungsradius einegegebene Funktion des Radiusvektor ist 2 ).

*) N. A. P. IV, p. 104—128. *) Mit dieser Aufgabe hat sich auch schon

Jacopo Riccati beschäftigt. S. Loria, Spez. alg. u. transcend. Kurven, S. 530.

Fig. 42.