Höhere ebene Kurven.

501

Der Gang der Untersuchung ist im ganzen ähnlich wie in derArbeit von Euler, die Bezeichnungen sind indes etwas anders ge-wählt. Fuß führt außer Polarkoordinaten (z, <p) ebenfalls das vom

Pol auf die Tangente gefällte Lot t und ^ = p ein. Die Funktion

von z, die dem Krümmungsradius gleich sein soll, heißt Z. Es werdendann, meist auf differentialgeometrischem Wege, folgende Relationenhergeleitet:

_ f*dz y—px .

J * 1 / 1 +**’ ( }

tdz

dcp =

(ß)

ZYzi — t 1

Setzt man in (2) für t seinen Wert aus (1) ein, so ist die Auf-gabe auf die Ausführung von zwei Quadraturen zurückgeführt. Nunwerden Spezialfälle behandelt, und zwar

1) Z = nz. Die Integration wird bewerkstelligt durch Einfüh-rung des Winkels, den die Tangente eines Kurvenpunktes mit demin diesem Punkt auf dem Radiusvektor errichteten Lot bildet, undder mit 2 ip bezeichnet wird. Es ergibt sich dann (mit a und C alsIntegrationskonstanten):

z =

1 -f- n cos 2 ip ’und für den Bogen s

<P — C — 2 ip -y j

2 d ip

1 -f- n cos 2 ip ’

( 3 )

s =

« ! a ■ sin 2 ip

n u. • Biu 6. 4 / j n it- [ i ») / / 1\

(1 —«*)(!+■» cos 2 iQ + n 1 {<P + — L )-

w

Aus (4) folgt, daß diese Kurven rektifizierbar sind. Das Integralin (3) nimmt verschiedene Formen an, je nachdem n — 1, n < 1,n > 1 ist, nämlich:für n = 1

<p = (' — 2 1 + tg ip,

für n < 1

für n > 1

g> = C — 2ip + - _1. - arctgy 1 — n s

s[Vr

tg ip

( , 21/ 4- 1 1 1 +

tp~L-2i>+ --- log ---=-

Y n s — 1 „ -1 /n — 1 ,

Diese Fälle werden der Reihe nach entwickelt; am interessan-testen ist eigentlich der erste, weil hierunter auch der Kreis fällt.Es ergibt sich eine Kurve, welche die zweite Evolvente einesKreises vom Radius a ist. Beschreibt man nämlich (Fig. 43Jeinen Kreis mit Radius a (Mittelpunkt „4), konstruiert dessen Evol-

33*