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Abschnitt XXIV.

Es wird dann noch der schwierigere Fall untersucht, daß dieGeschwindigkeiten veränderlich sind. Bezeichnet man diese mit P

und Q, so ist z = >

Pds

also wird die Differentialgleichung:

Q

- = dx- dVcn 2 -/-.

1 / fjß _ A

Als Beispiel dient _ = - ; CI) = y, wobei sich die Wurfparabel

V Yx

ergibt. Auf diesem Weg läßt sich auch leicht die LeibnizscheIsochrone herleiten, indem CD — y\ P = Vq] Q =~^ x gesetzt wird.Man erhält so die Xeilsehe Parabel.

Mit allgemeinen Traktrixkurven 1 ) beschäftigt sich Euler in zweiAbhandlungen aus dem Jahr 1775, „Commentatio de curvis tractoriis“,und „De curvis tractoriis compositis“. 8 ) Die erste stellt die Differential-gleichung für den allgemeinen Fall auf, daß der ziehende Punkt sichauf einer beliebigen Kurve bewegt, integriert und rektifiziert sie Bil-den Fall, daß diese Kurve ein Kreis ist. Euler versucht auch, dieAufgabe unter Berücksichtigung der Reibung zu lösen, mit dem Re-sultat, daß diese Aufgabe die Kräfte der Analysis übersteige. In derzweiten Abhandlung wird der Fall untersucht, daß mehrere Punktehintereinander an demselben Faden befestigt gedacht sind; doch ge-lingt auch hier die Lösung nicht.

Endlich ist noch zu bemerken, daß Malfatti in der schon er-wähnten Schrift: „Deila curva Cassiuiana“, wo alle Eigenschaften durchsynthetische Überlegungen hergeleitet werden, von der Lemniskatedie folgende nachweist: Steht eine Doppelpunktstangente vertikal, sodurchfällt ein schwerer Punkt, der im Doppelpunkt seine Bewegungbeginnt, einen Kurvenbogen und seine Sehne in der gleichen Zeit.

Als vierte Gruppe lassen sich einige Arbeiten über Trajek-torien und Parallelkurven zusammenstellen; den ersteren sindverschiedene Abhandlungen von Euler gewidmet, nämlich: „Conside-rationes de traiectoriis orthogonalibus“ 3 ), „Digressio de traiectoriis tarnorthogonalibus quam obliquangulis“ 4 ) und „Considerationes super traiec-toriis tarn rectangulis quam obliquangulis“ 5 ) (3. Juni 1775). Geradebei diesen Arbeiten ist wieder auf die S. 479 gemachte Bemerkungüber eine gewisse Unklarheit in betreff der Integrationskonstantenhinzuweisen. Zunächst ist stets nur von einer Trajektorie die Rede 6 ).Es ist nämlich fast immer angenommen, daß die Differentialgleichung der

*) Vgl. Kästner, Gesell, d. Math. IV, S. 2f. *) X. A. P. II, p. 3—27,

p. 28—35. *) N. C. P. XIV A769), p. 46—71. 4 i Ebenda, XVII ',1772),

p. 205—248. 6 ) N. A. P. I, p. 3—46. ®) So übrigens auch bei Kliigel in

dem betr. Artikel, V, p. 92 ff.