Höhere ebene Kurven.
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Kurvenschar, deren Trajektorie gesucht wird, den Parameter noch ent-hält; in der zweiten der oben genannten Abhandlungen sagt Euler sogar geradezu, eine Kurvenschar könne definiert sein durch eineDifferentialgleichung mit einem Parameter. — Unter dieser Annahmeuntersucht Euler die verschiedenen Fälle, die sich ergeben, je nach-dem die Gleichung der Kurvenschar nach einer der Variabein odernach dem Parameter auflösbar ist. Die Theorie selbst wird jedochin keinem wesentlichen Punkte weiter gefördert, nur der Satz trittwohl hier zum erstenmal auf, daß die Bedingung für die Orthogona-lität zweier Kurvenscharen F(x, y, p) = 0 und <I> [x, y, q) = 0 ge-geben ist durch die Gleichung ^ ?•-— 0; um die hier auf-
° ° cp dq dpdq 7
tretenden Dififerentialquotienten bilden zu können, sind aus den Glei-chungen der Kurvenscharen x und y als Funktionen der Parameter pund q auszudrücken.
Einen entschiedenen Fortschritt gegenüber diesem Standpunktbedeutet die Arbeit von Trembley (1749—1811, erst Jurist, dannMathematiker, von 1794 an in Berlin , Mitglied der Akademie): „Ob-servations sur le probleme des Trajectoires “. 1 1 Hier wird die Aufgabe mitvoller Klarheit angefaßt und durchgeführt, unter Bezugnahme auf EulersVeröffentlichungen, die Trembley als einen „calcul assez prolixe“ be-zeichnet. Er macht auch auf den Hauptfehler aufmerksam, nämlich aufdie falsche Auffassung des Parameters, bzw. der Integrationskonstanten,und zeigt, wie man aus der Gleichung einer Kurvenschar Ffx,y,a) = 0mit dem Parameter a ihre Differentialgleichung findet, indemman sie differenziert und den Parameter eliminiert, was freilich beider praktischen Ausführung manche Schwierigkeiten bietet. Aus derDifferentialgleichung ergibt sich dann die der Orthogonaltrajektorien,
indem man ( -J' mit — ~ vertauscht. Die Methode wird an einigendx dy °
Beispielen durchgeführt und auf schiefwinklige Trajektorien ausgedehnt.
„De traiectoriis reciprocis tarn rectangulis quam obliquangulis'* istder Titel einer Abhandlung von Euler in den A. P. 1782, II, p. 3—33.Die hier betrachteten Kurven sind von etwas anderer Art, als dieIsogonaltrajektorien. Es handelt sich nämlich darum, eine Kurve zufinden, die, um eine Gerade umgeklappt und parallel mit dieser ver-schoben, ihre ursprüngliche Lage immer unter demselben Vinkelschneidet. Euler behandelt hier die schon von Joh. Bernoulli undvon ihm selbst gelöste Aufgabe 2 ) in allgemeiner Weise, und leitetalgebraische Kurven dieser Art her.
*) Siehe