Abschnitt XXIV.

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Zu den Trajektorien kann man in gewissem Sinn auch die Pa-rallelkurven rechnen, sofern sie die Orthogonaltrajektorien einerSchar von Geraden sind. Sie entstehen bekanntlich dadurch, daß manauf allen Normalen einer Kurve in derselben Richtung gleiche Stückeabträgt und die Endpunkte verbindet; sie heißen auch äquidistanteKurven. Leibniz 1 ) hat zuerst auf sie aufmerksam gemacht; in un-serem Zeitraum hat sich zuerst Nieuport damit beschäftigt in einem„Memoire sur les codeveloppees des courbes“ 2 ). Er nennt sie hier „code-veloppees“ und stellt ihre allgemeine Gleichung auf, die er dann speziellauf die Parallelkurven der Parabel anwendet. Bemerkenswert ist, wieer sie zu veranschaulichen sucht, nämlich durch eine Fläche, die ent-steht, wenn man jede Parallelkurve im Abstand c um die Strecke cüber die Koordinatenebene hebt. Es entsteht so ein „solide fort com-plique“, nämlich, um die Sache im heutigen Sprachgebrauch auszu-drücken, eine RegeMäche, deren Mantellinien alle die gegebene Kurveschneiden, mit deren Ebene einen <£; 45° bilden und sich auf dieseEbene als die Normalen der Kurve projizieren. — Fast gleichzeitigund, wie es scheint, unabhängig voneinander, haben Kästner undAngelo Luigi Lotteri (1760—1840, Professor der Mathematik zuPavia ) die Parallelkurven untersucht. Merkwürdig ist auch, daß beidedurch eine Aufgabe aus der Praxis darauf geführt worden sind, näm-lich eine elliptische Mauer von überall gleicher Dicke zu konstruieren.Kästners Arbeit „De curvis aequidistantibus“ steht in den Commen-tationes Goettingenses 1793, Lotteris (Memorie sulle curve parallele)im Giornale fisico-medieo de Pavia (1792). In dieser Zeitschrift findetsich im Jahrgang 1795 ein Bericht über Kästners Arbeit, sowieüber eine frühere von Cagnazzi über denselben Gegenstand, dieschon 1789 der R, Soc. delle Scienze di Napoli übergeben wurde.Die wichtigste, von Kästner und Lotteri unabhängig gefundeneEigenschaft bezieht sich auf die von zwei Kurvennormalen und denzwischen ihnen liegenden Bögen der Parallelkurven eingeschlosseneFläche. Sie ist nämlich gleich dem Inhalt eines Trapezes, dessenparallele Seiten gleich den beiden Parallelkurven sind, und dessenHöhe gleich dem Abstand derselben ist; dieser Satz tritt bei Kästnerallerdings in etwas anderer Form auf. Es ist nämlich angenommen,daß die eine der begrenzenden Normalen die x -Achse ist; ist nunarc AJ/=s der Bogen einer Kurve, arc FH der einer Parallelenim Abstand h, und £ der Winkel der Tangente im Punkt J/ gegendie x -Achse, so ist zunächst_ FH = s - h (90 10 - £)*),

*) Bd. IIP, S. 212. *) Mem. de l’Acad. de Bruxelles, T. 4, p. 1—16.

*) Wird Joh. Bernoulli zugeschrieben.