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Abschnitt XXIV.

wonnenen Kurvenpunkte gleich sind, daß aber das Umgekehrte nichtmit, d. h. daß die Kurven mit konstanter Subnormale der gestelltenBedingung nicht entsprechen. Bezeichnet man nun diesen konstantenWert der Subnormalen mit t, so können die Abszissen der ein-

zelnen Punkte so ausgedrückt werden: x = * <f + wo t und T

2 7t 7

Punktionen von sin q und cos q bedeuten; wächst also q um 2;r, so

wächst x um t. Da nun t die Subnormale bedeutet, so ist ' V = t :

7 ft nr 7

dx — * < * CP 7 !” <f< ^ t -{-(IT ist. Setzt man

2 7t

diesen Wert ein, so folgt: y 2 = J V- dq -f- 2 J tdT. In ähn-

^ td<fi -(- tfdt

2 7t

diesen Wert ein, so folgt: y* f

licher Weise werden dann noch andere Aufgaben dieser Art behandelt,z. B. daß QBr — JQ 2 konstant sein soll; daß die Subnormalen einearithmetische oder geometrische Progression bilden sollen.

Eine Kurve, von der sich ebenfalls zunächst bloß diskrete Punktebestimmen lassen, ist y = x\ Dieser hat Euler eine Abhandlunggewidmet: „De curva hypergeometrica liac aequatione expressa:y — 1 ■ 2 • 3 ■ 4 • • • x“}) Die Gleichung ergibt zunächst nur Ordinaten-werte für ganzzahlige Abszissen; für gebrochene ist sie so umzu-formen, daß sie für beliebige Abszissen brauchbar ist, und natürlichfür ganzzahlige mit der ursprünglichen Gleichung übereinstimmt.Hierbei ist die Bemerkung von Wert, daß mit einer beliebigen Ordi-nate auch diejenige bekannt ist, die zu einer um 1 größeren oderkleineren Abszisse gehört, wie ja leicht zu sehen ist. Es genügt also,den Verlauf der Kurve im Abszissenintervall 0 bis 1 festzustellen.Euler gibt hierfür verschiedene Entwicklungen, die zur Bestimmungvon Tangente, Normale. Krümmungsradius usw. benutzt werden. AlsKoordinaten eines Minimalpunktes ergeben sieb durch ein Annähe-rungsverfahren: x = 0,46163214471; y = 0,8K5t3031!145, wozu Eulerbemerkt, es sei nicht gelungen, irgendwelche Beziehungen dieser Wertezu bekannten irrationalen oder transzendenten Zahlen aufzuhnden.

Eine dritte Abhandlung über derartige Kurven, von denen zu-nächst nur diskrete Punkte gegeben sind, rührt von Fontana her:„Sopra l’equazione d'una curva. Sopra la falsita di due famosi Teo-remi, e sopra la Serie armoniche a termini infinitamente piccioli“. 2 )Hier interessiert uns nur der erste Teil der Abhandlung, der folgen-der Aufgabe gewidmet ist: Auf dem einen Schenkel eines WinkelsQAJi ist in B ein Lot errichtet, das die Halbierungslinie des Winkels

*) X. C. P. XIII (1768), p. 3—66.

t. n, p. 1 3—141.

*) Mem. mat. fis. Soc. Ital. (1784),