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Abschnitt XXIV.

Bernoulli bewiesen, wonach ein Kurvenstück von der Amplitude= 90° durch fortgesetzte Evolutenbildung schließlich in eine Zykloideübergeht, und zwar zunächst durch eine Art Anschaulichkeitsbeweis,dann in streng analytischer Form, wobei gezeigt wird, daß für dieletzte Kurve zwischen dem Bogen s und seiner Amplitude v die Be-ziehung besteht: z = A sin v, welche die Zykloide definiert. Diezweite heißt: „Investigatio curvarum, quae similes sunt suis evolutisvel primis vel secundis vel adeo ordinis cuiuscunque“ 1 ) (11.Dez. 1775).Zunächst wird eine elegante Beziehung zwischen dem Krümmungs-radius r, der Amplitude qp und dem Krümmungsradius r ("> der «ten

Evolute hergeleitet, nämlich: -. Sollen nun zwei Kurven

d qp

ähnlich sein, so müssen ihre Krümmungsradien in entsprechendenPunkten proportional sein, d. h. für unseren Fall muß = C ■ r,oder

d n r

— = Cr

d qp*

sein. Die Gleichung ist leicht zu integrieren; sie liefert

r = A •wo

k-Vc

ist. Dieses Resultat wird auf Spezialfälle angewendet.

ln den Phil. Trans. 57 (4707), p. 28—43 untersucht GeorgeWitchell (1728—1785, Privatlehrer der Mathematik in London , von1767 an Headmaster of the Royal Naval Academy Portsmouth) dieFrage nach dem Schatten eines Rotationsellipsoids (A general in-vestigation of the nature of a Curve formed by the shadow of a pro-late spheroid upon a plane standing at right angles to the axis ,ofthe shadow). Der Verfasser glaubt, gewisse Unregelmäßigkeiten inder Verfinsterung der Jupiterstrabanten damit erklären zu können,daß der Jupiter keine Kugel, sondern stark abgeplattet ist. Er suchtnun den Kernschatten dieses Planeten auf einer Ebene, die auf derAchse dieses Schattens senkrecht steht, wobei die Aufgabe sich wesent-lich dadurch vereinfacht, daß die Achse des Jupiter nahezu auf seinerBahnebene senkrecht steht, so daß die Aufgabe auf die einfacherezurückgeführt werden kann: Gegeben eine leuchtende runde Scheibe,und eine elliptische, die beide auf der Verbindungslinie der Mittel-punkte senkrecht stehen; gesucht der Kernschatten der letzteren aufeiner dritten Parallelebene. Es ergibt sich eine Art Lemniskate, die

*) N. A. P. I, p. 75—116.