Höhere ebene Kurven.
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entsteht, wenn man auf allen Halbmessern einer Ellipse von derPeripherie aus gleiche Stücke abträgt.
Es folgen nun in chronologischer Ordnung wieder einige kleinereArbeiten von Euler. Die erste: „Problematis cuiusdam geometriciprorsus singularis evolutio“ 1 ) sucht eine Kurve so zu bestimmen, daßdie Normale den Winkel zwischen der Tangente und einer festenGeraden halbiert.
Die zweite heißt: „De curvis hyperbolicis quae intra suas asyrn-totas spatium finitum includunt“ 2 ) (13. Februar 1777). Sie geht ausvon der Bemerkung, daß keine Hyperbel von der Form x m y” — c dieim Titel genannte Eigenschaft besitzt, und untersucht nun, ob diesvielleicht für Kurven von der Form ax a y? + bx y if = c der Fall sei.Vorausgeschickt wird ein Hilfssatz aus der Theorie der bestimmten
X
. • ^Ul ^ ^
Integrale, nämlich daß das Integral / . endlich ist, wenn
° ' ° , / (l + u n ) k ’
0
nk > (m + 1) > 0 ist. Dieser wird auf zwei Arten bewiesen undbildet die Grundlage für die Herleitung folgender Resultate:
Alle hyperbolischen Kurven von der spezielleren Form:
• ax a y’ i -f- bx^y“ = c
schließen zwischen ihren Asymptoten einen endlichen Raum ein, wennfolgende drei Bedingungen erfüllt sind: 1. a, b, c müssen alle dreipositiv sein, 2. a und ß müssen beide positiv sein, 3. a darf nicht- ß sein.
Für Kurven von der allgemeineren Formaxfyt + bx^y 6 = c
gilt dasselbe, wenn 1. a, b, c alle positiv sind, 2. wenn «, ß, y, dalle positiv sind, 3. weun von den Brüchen “■ und der eine > 1,der andere < 1 ist.
Für Kurven der ersten, spezielleren Form gelingt unter den an-gegebenen Bedingungen die Bestimmung des in Rede stehenden Flächen-
c s
inhalts, wenn « + (1 = 1; er beträgt nämlich: - T —
A CI 0 (tt — p)
Die dritte heißt: „De insigni paradoxo, quod in analysi maximo-rum et minimorum occurrit“ 3 ) (31. Mai 1779). Es handelt sich darum,
eine Kurve zu finden, für welche fdsYx ein Minimum wird. Die-selbe wird nach den Methoden der Variationsrechnung bestimmt, wo-
•) N. C. P. XVI (.im), p. 140 - 159 . * *) N. A. P. VIII, p. 116 — 139 .
*) M. P. HI (1811), p. 16-25.
Cantor, Geschichte der Mathematik IV.
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