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Abschnitt XXIV.
bei sich das scheinbare Paradoxon herausstellt, daß es eine Kurvegibt, für welche dieses Integral einen noch kleineren Wert annimmt.Euler findet die Lösung darin, daß jenes Minimum nur ein relativessei, ebenso wie etwa ein Minimalpunkt einer Kurve nur den kleinstenWert gegenüber den benachbarten Ordinaten, nicht den kleinstenWert überhaupt bestimmt.
Die vierte ist betitelt: „Solutio problematis ob singularia calculiartificia memorabilis“ 1 ) (22. März 1779). Hier ist die Aufgabe, eineKurve so zu bestimmen, daß das Integral über dem Produkt aus demLinienelement uud einer beliebigen Funktion des Radiusvektor z, also
f is • f(z) ein Minimum oder Maximum wird. Setzt man
\ dv dy
= 57 -s; dx =p>
so ergibt sich als Differentialgleichung:
ydx—xdy=
vzdp
W+P l ) ■
Die „singularia artificia“ bestehen nun darin, daß die Größen
x
V
t g<p; P = tgw;
t =
dz
zdy
eingeführt werden, wodurch sich ergibt:
d(p -
dz
in ist Integrationskonstante). Charakteristisch für Euler ist dieSchlußbemerkung, daß er nie auf diese artificia gekommen wäre, wenner nicht die Lösung schon auf anderem Weg gehabt hätte, nämlichdurch Einführung von Polarkoordinaten.
In einer fünften Abhandlung: „De duplici genesi tarn epicycloidumquam hypocycloidum“ 2 ) beweist Euler einen von Dan. Bernoulli 8 )herrührenden Satz, daß jede solche Kurve auf doppelte Art erzeugtwerden kann. Ist nämlich a der Radius des festen, b der des rollenden
Kreises, so kommt, für b < a, dieselbe Kurve heraus, wenn b = ° Cund b = a n ° ist, wo c eine beliebige Strecke < a ist. Ist b > a,
so wird bei innerer Berührung für b = a + c dieselbe Kurve be-schrieben, wie bei äußerer für b = c.
>) M. P. II (1810), p. 3—9. *) A. P. 1781, I, p. 48—59.
Loria 'Spez. Kurven, S. 483). S. dort auch näheres hierüber.
*) Nach