Höhere ebene Kurven.

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(1752—1824, Professor der Mathematik an der Universität Neapelund Gründer einer Schule von italienischen Mathematikern) kann ichnur nach Loria 1 ) berichten. Es findet sich dort die Notiz, daßFergola die schwierige Aufgabe gelöst habe, eine Kurve von derEigenschaft zu finden, daß das Stück ihrer Tangente zwischen zweifesten Geraden gleich dem Krümmungsradius des Berührpunktes sei.

Eine interessante Klasse von Kurven hat Euler in einer Arbeit:„De curvis triangularibus “ 2 1 untersucht. Er versteht darunter Kurvenmit drei Rückkehrpunkten (vgl.

Fig. 49). Sie sind sowohl inder Optik, wo sie als Brennlinienauftreten, wie wegen ihrer Evol-venten von Interesse. A, B, Cseien die drei Spitzen; a, b, c diegegenüberliegenden Kurvenbögen.

Trägt man nun z. B. auf derTangente von A ein Stück

AF=f

ab und läßt die Tangente aufder Kurve abrollen, bis sie inB berührt, so ist der die Evol-vente beschreibende Punkt in gangekommen und es ist Bg = c + f. Kommt dieser Punkt der Reihenach in die Lagen H, f, G, h, so ist leicht zu sehen, daß

CH = Bg — a = c + f — a- Af = b + CH = b + c + f — o;

if(j = Af — c = b f — «; Ch = BG + a = b + /' usw.

Daraus folgt:

Ff = Gg = Hh = 2f+b + c-a.

Dies gilt aber für das Stück Xx jeder beliebigen Tangente, das inner-halb der Evolvente fällt; ist nämlich S der Berührpunkt, so ist

SX = SC+ CH-, Sx = AS + AF-

also

Xx = SA-{-iS:r — —1— .c ~)— f —• $-{-/ — 2/ — a.

Die Evolvente hat also die merkwürdige Eigenschaft (diesonst nur dem Kreis zukommt), daß jede Normale eines belie-bigen Kurvenpunktes X in ihrem zweiten Schnittpunkt x

*) Niccolo Fergola e la scuola di Matematici che lo ebbe ä duce, 1904,p. 73 74. *) A. P. 1778, II, p. 3—30.

H

Fig. 50.