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Abschnitt XXIV.

mit der Kurve wieder auf dieser senkrecht steht, uud daßXx konstant ist. Euler uennt deshalb diese Kurven „orbiformes“.

Um nun die Gleichung einer dreispitzigen Kurve aufzustellen,geht Euler aus von der Gleichung einer orbiformis und nimmt einebeliebige Normale Ff zur x -Achse; die konstante Länge Ff wird mit2 f l ) bezeichnet. Ist nun Mm eine beliebige zweite Normale, und sindvon M und m die Lote MM X und auf Ff gefällt, ist ferner:

endlich

jpil/j = X ; il/il/j = U; Fni t = x\ m = y-

dY

dX

dyd x

= P>

so ist zunächst

Setzt man:so wird

F = p. Ferner läßt sich leicht zeigen, daß:Y -y =

x = Q +

*f .

x -

x -

2fp

V 1 + i> s ’

^f^ r p i

x = 2Q-,

Y +

y =

-2B,

_ fP_.

UT+7 S ’

r=

r + --L^

V i + p 1

(1)

_ fp _

V 1 + P 8 ’

y =

B-

f

yT+7^'

(2)

Da (1) und (2) sich nur durch das Vorzeichen der Wurzelunterscheiden, und dieser Unterschied verschwindet, sobald rationalgemacht wird, so können (1) und (2) als gleichwertig angesehenwerden. Differenziert man (1) oder (2), und setzt man dY = pdXund dy = pdx ein, so ergibt sich dB = pdQ, also

B=fpdQ. (3)

Ist also Q eine beliebige Funktion von p, für welche die Inte-gration in (3) ausführbar wird, so stellt (1) oder (2) in Verbindungmit (3) die Koordinaten einer orbiformis als Funktionen des Para-meters p dar. — Um nun die Gleichung der dreispitzigen Kurve, d. h.der Evoluten zu finden, werden die Gleichungen durch eine Hilfs-funktion S = I Qdp etwas vereinfacht. Man erhält nämlich aus (2):

dS , fpX d P + VY+Js

y

pdS

dp

f _

YY+¥'

S - -=L—

Da die Kurve geschlossen sein soll, x und y also keinen unend-lichen Wert annehmen können, so darf auch S nicht unendlich werden.Ist also z. B. S von der Form:

c = a o + -h a m P m

K + t>tP -h b n p" ’

*) /' hat also hier eine andere Bedeutung als vorher.