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Abschnitt XXIV.

die sich am kürzesten an Fig. 51 ablesen lassen (AC ist die Ab-

szisse der Punkte mit horizontaler Tangente, Al = AC= 3 ^j

1) arc AZ + Z 1'

2) DK — I)Z = 3p

31 IT + TZ =* 2 arc AZ = 2s.

Fuß untersucht nun, ob es noch andere Kurven gibt, denen eine

dieser drei Eigenschaften zu-

kommt, und findet, daß diesnicht der Fall ist, daß also nurdie Brennlinie der Parabel dieseEigenschaften besitzt. Dagegengelingt es ihm, Kurven zu fin-den, die durch eine Verall-gemeinerung definiert sind,nämlich so, daß IT + TZ ineinem gegebenen Verhältnis zurBogenlänge stehen, daß also,wenn DY eine solche Kurve

L

n

Fig. 52.

ist (Fig. 52),

A V -f VY = >i ■ arc J) Y.

Er findet als Bogenlänge

n- 1

und für den Krümmungsradius

O

7 , _ X”

A(n — 1 1 ’

wo A eine Integrationskonstante ist. Die Kurven sind algebraischund rektifizierbar.

Mit Kurven, die bei Abwicklung von Kegel und Zylinder auf-treten, haben sich Euler und Schubert beschäftigt. Ersterer kommtin einer Note über die Oberfläche des schiefen Kreiskegels: „De super-ficie coni scaleni, ubi imprimis ingentes difficultates, quae in hac in-vestigatione occurrunt, perpenduutur“ 1 ) ( 12. September 17861 auch auf dieAbwicklungsfigur des Grundkreises und stellt für deren Krümmungs-

cp

c + b cos cp '

radius die Formel auf r =

Hierbei ist c der Radius des

Grundkreises, b der Abstand des Mittelpunktes von der Projektionder Spitze auf die Grundkreisebene, p die Mantellinie eines beliebigen

*) X. A. P. III, p. G9-89.