Raumkurven und Flächen.

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Lagrange: „Solution analytique de quelques problemes sur les pyra-mides triangulaires“. *) Der eigentliche Zweck ist, Oberfläche, Inhalt,einbeschriebene und umbeschriebene Kugel, Schwerpunkt usw. fürein Tetraeder durch seine sechs Kanten auszudrücken. Hierzu wirdein rechtwinkliges Koordinatensystem so angenommen, daß eine Ecke(<S) in den Ursprung fällt, diedrei anderen (J/ t , il/ 2 , J/ 8 )durch ihre Koordinaten ge-geben sind. Infolge dieser Be-handlungsweise, die ganz sym-metrisch und mit bewunderns-werter Eleganz durchgeführtwird, ergeben sich eine Reihefundamentaler Sätze überPunkte und Geraden imRaum. Um sie kurz anführenzu können, benutzen wir dieBezeichnungen Lagranges,wobei jedoch die Strichedurch Indices ersetzt sind, und

von drei durch zyklische Vertauschung sich ergebenden Formeln immernur eine angeschrieben wird. Es sei also (Fig. 54)

sjv =«, = *,*+yi*+ *i 2

b 1 = ft ft -}- ft ft ft ft

-X

Fig. f.4.

Ferner:

M 2 d/ 3 2 = Cj = Oj + « 2 — 2 b z

ft ftft ßi ^2^3 ft ^ 2 ^-^3 Yv

Dann ist:

Ä-d/j = > «!; M i M i = y Cl ; cos 7l =

ft.

y« 8 “ s

a m . 2 sm ,=4 y^«;- v=4 y«; ;

A J/j J/ 2 M a = U = 4 yx« + 2X|j , 2 )

Es wird nun die Gleichung der durch 3I lf fl/ 2 , il/ 3 gelegtenEbene hergeleitet, allerdings nicht ganz symmetrisch. Lagrange

l ) Nouveaux Memoires de l’Acad&nie Royale des Sciences et Belles-Lettresä Berlin 1773, p. 149—177. Vgl. Loria in den Verhandlungen des III. Mathe-matikerkongresses (zu Heidelberg 1904), S. 571. *) Das Zeichen X bedeutet im

folgenden die Summe der drei Glieder, die durch zyklische Vertauschung derIndices 1, 2, 3 entstehen.