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Abschnitt XXIV.

nimmt nämlich ihre Gleichung in s, t, u als laufenden Koordinatenin der Form an:

m = / + ms + nt,

und bestimmt die Koeffizienten l, m, n, wobei zur Abkürzung gesetztwird:

£l = Di Z'S ’/l = ^2^3 ~^2 Z 3 i £l ~ ^2 Vs Vi i

es wird dann:

n

— Zn. ] _ Azz ’ z'z’

wobei A die (natürlich nicht in der heutigen Form geschriebene)Determinante

i

x 2 y, 3,

I

*^S 2 3 I

ist. Für das Lot h vom Ursprung ergibt sich:

l/(£()' +(Sy)'+ (££)* yZa+ZSß’daraus der Inhalt des Tetraeders:

Eh

3

e = l V a i a * a 3 + A } >A - -«iV

— u., « 3 -j- 2/ij /L /ij 2Za l ß l “.

Es wird sodann die Aufgabe gelöst, das Tetraeder von größtemInhalt zu finden, wenn die vier Seitenflächen dem Inhalt nach ge-geben sind. Für die folgenden Überlegungen von großer Wichtigkeitist die Aufgabe, die Diagonale einer dreiseitigen Doppelpyramide durchihre neun Kanten auszudrücken. Eine solche erhält man, wenn einbeliebiger Punkt P (p, q, r) des Raumes mit M lt J/ ä , M 3 verbundenwird. Ist PS' 2 = f, P = g 1 usw., und zur Abkürzung gesetzt:

so ist:oder:

Ä'i = px,+ qy, + rz u9\ = a i + / — - Ä'i

/■V

und:

und daraus:

P =

ZK'k

a i +f~9i

2*i £i

A 2 /’= A’a 1 A- 1 2 + 2A/1 1 A- 2 ä- 3 .

Dies ist eine Gleichung 2. Grades für f, wie es ja auch sein muß, da