Raumkurven und Flächen.

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die beiden Pyramiden auf derselben oder auf entgegengesetzten Seitender gemeinsamen Grundfläche liegen können. Aus den zuletzt aufge-stellten Gleichungen erhält man Radius und Mittelpunkt der umbe-schriebenen Kugel, indem man f = <j l = </, = </ 3 setzt, und die zu-gehörigen Werte von p, cp r berechnet. Es ist in diesem Fall

also ergibt sich für den Radius (Yf) und die Mittelpunktskoordinaten(P, <1, >')

_ Sc, ty-f 2 2fr a t a, .f — 4A S ’ P

2 A

usw.

In ähnlicher Weise werden Radius und Mittelpunkt der einbe-schriebenen Kugel ermittelt, indem man zunächst die von P aufdie vier Seiten des Tetraeders gefällten Lote berechnet. Das Lot pjauf M s SM 3 wird

_“i l'\ + fis L. + (b *. _ P 4~ <1 4~ si r

' 1 A V« 1 l «!

und das Lot .t auf M l M s M a

Jt = A — (jpZ£ + + 1-ZS)

= ysä -L 2 Zß

Damit wird zunächst die Aufgabe gelöst, den Punkt P so zubestimmen, daß die vier Pvramideu, welche die Spitzen in P und dieTetraederflächen als Grundflächen haben, in einem vorgeschriebeuenVerhältnis hinsichtlich des Inhalts stehen. Dann wird

* = 91= s°2 = 9 s

gesetzt, wodurch sich für den Radius ( Yf ) und die Mittelpunktskoor-dinaten der einbeschriebenen Kugel die Werte ergeben:

f = 2a i a i + A'2 fc, j/a, a s _ = ]/ö^

' (yü + zj /^) 8 ’ yü + zy«;’

wo

oj = + 22ß.

Schließlich wird noch in ähnlicher Weise der Schwerpunkt bestimmt.

Den Übergang zu den Raumkurven mag eine hervorragende Ab-handlung von Euler bilden, die ebenfalls noch allgemeinerer Naturund insofern von großer Bedeutung ist, als darin die Grundzügeder allgemeinen Theorie der Raumkurven in ihrer heutigenGestalt entwickelt sind. Sie heißt: „Methodus facilis omnia sympto-mata linearum curvarum non in eodem plano sitarum investigaudi“. 1 )

>) A. P. 1782, I, p. l'J—57.