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Abschnitt XXIV.

Euler geht hier darauf aus, die durch „figurae tantopere complicataeet propemodum inextricabiles“ hergeleiteten Fonnein auf einfacheremWege zu gewinnen, wobei die Hilfsmittel der sphärischen Trigono-metrie benutzt werden. Um keine der drei Achsen zu bevorzugen,wird die Bogenlänge s der Kurve als Parameter eingeführt undmit p, q, r die Ableitungen der Koordinaten nach diesem Parameterbezeichnet, so daß:

dx = pds\ dy = qds-, dz = rdsist. Es muß dann sein:

p- + q 2 + r 2 = 1; pdp + qdq + rdr = 0. (1)

Ferner, wenn ds als konstant angesehen wird:

(Px = dpds-, d 2 y = dqds ; d 2 z = drds.

Fig. 55.

Euler denkt sich nun (Fig. 55)um einen Kurvenpunkt Z{x, y, z)eine Kugel vom Radius = 1beschrieben, die von der Tangentein z geschnitten wird, während diedurch Z gehenden Parallelen zuden Achsen einen Oktanten a, b, cbestimmen. Es ist dann

cos az = p-

sin az = }/1 — p 2 = 1 /q 2 + r s . (2)

Das sphärische Lot von* auf bc istdas Komplement von az, und zugleichder Neigungswinkel der Tangentegegen die yz- Ebene. Ferner istnach bekannten Sätzen der Tri-

gonometrie:

also:

sin baz =

r

Vr *~b <r’

cos baz = 1

(3)

Es sei nun durch Z auch noch eine Parallele zur Tangente desNachbarpunktes gezogen, welche die Kugel in z' schneidet, dann ist^izZz' der Kontingenzwinkel (im heutigen Sprachgebrauch), der

ds .

Krümmungsradius B =, und die durch den Bogen zz gelegte