Raumkurven und Flachen.

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Ebene die Schmiegungsebene der Kurve. Diese Betrachtungsweisezeigt, daß Euler das Verdienst gebührt, die sogenannte sphä-rische Abbildung in die Mathematik eingeführt zu haben,was gewöhnlich Gauß zugeschrieben wird. — Um nun die Neigungs-winkel der Schmiegungsebene gegen die Koordinatenebenen zu be-stimmen, setzt Euler az = a, so daß also az' = a + da wird. Esist also nach (2):

da =

d p

>y-i r*

Bezeichnet man Ycbaz mit c o, so wird:

also:Nun ist:

■$; baz' = a + da,zaz’ = da.

also:

tg 03 =

<1

r ’

da

Ist ferner zs _L az', so ist:

qdr — rdq-fr*'

also:

zs = da ■ sin az ; sz = da ;qdr — rdq

ZS

ferner:

W-;. r 8 ’zz'* = zs 1 -(- zs 2 ,also nach (1), (5) und (6j:

zz* = dp*+dq*+dr*ds ds'

und:

11 =

\/dp * + dq t -f dr* |/(d , i) J + (d'y) 1 -f (dG) s

Ist ds nicht konstant, so ist:

R

ds 5

(5)

(6)

( 7 )

( 8 )

y(d*xy + (d’yY +■ (d*z) s — (d*s)*

Euler bemerkt hierzu: „quae formula per analysin communemdemum post calculos maxime perplexos est eruta“.

Ferner folgt aus (5) und (6)

, , rdq—qdr

tg ZZ S = — - -

° dp

Verlängert mau zz bis zum Schnitt mit den Oktantenseiten in