Kaumkurven und Flächen.
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Hat mail ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Kanten denAchsen parallel sind, und sind die Kantenlängen
1. x, y, z, so gibt die Diagonale die Richtung und Größe desRadiusvektors an;
2. sind sie p, q, r, — die Richtung der Tangente;dp dq dr
3. sind siemungsradius;
4. sind sie
ds ’ ds ’ ds’
— Richtung und Größe des Krüin-
rdq—qdr pdr—rdp
- ds —, — rfs —- ,ljlp (ls pdq , SO steht die Diago-
nale auf der Schmiegungsebene senkrecht.
Damit sind wir nun schon auf dem Gebiet der Raumkurvenund der damit eng zusammenhängenden abwickelbaren Flächenangelangt, ein Zusammenhang, der auch erst in unserem Zeitraumgenauer studiert und klar erkannt worden ist. Auch hier war Eulerder erste, der sich mit diesen Beziehungen beschäftigt und dabeisogleich wichtige Resultate gefunden hat. Seine Arbeit, die sehr be-achtenswert ist, ist betitelt: „De solidis, quorum superficiem in planumexplicare licet". 1 ) Zu bemerken ist hier, daß Euler zwar noch in denAnschauungen seiner Zeit befangen erscheint, insofern er von „solidis“spricht 2 ), daß er aber doch den ersten Schritt zur heutigen Betrach-tungsweise der Flächen als selbständiger Gebilde tut, indem er dieKoordinaten der Flächenpunkte als Funktionen zweier Pa-rameter t, u darstellt, und untersucht, welchen Bedingungen diesegenügen müssen, wenn die Fläche in eine Ebene abwickelbar seinsoll. Euler geht aus von der abgewickelten Fläche, nimmt t und uals rechtwinklige Koordinaten eines Punktes der Ebene, und be-trachtet in dieser Ebene ein unendlich kleines rechtwinkliges Dreieck,dessen Ecken die Koordinaten (t, u ); (t + dt, m); (t, u 4- du) haben,und das wegen der Abwickelbarkeit dem entsprechenden Dreieck aufder Fläche selbst kongruent sein muß. Er bezeichnet nun die par-tiellen Ableitungen von x, y, z nach t und u mit 1, A; m, g; n, v8x
m:
= X usw.
Dann sind die Koordinaten der Ecken
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des entsprechenden Dreiecks auf der Fläche x, y, z\ x -f- Idt, y -f- mdt,z + ndt\ x + Xdu, y + ydu, z + vdu, und aus der Kongruenz derDreiecke ergeben sich für l, m, w; X, p, v die drei Bedingungs-gleichungen:
l 2 4- m 2 + n 2 = 1; X 2 + y 2 -f v 2 = 1; IX + mp + nv = 0.
Dies sind also die analytischen, notwendigen und hinreichen-