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Abschnitt XXIV.

den Bedingungen der Ab wickelb arkeit. Man sieht leicht, daßEuler damit nichts anderes gezeigt hat, als daß, modern ausgedrückt,das Linienelement der Fläche mit dem der Ebene überein-stimmen muß. Analytisch betrachtet, handelt es sich also um dieAufgabe, drei Funktionen von t und u so zu bestimmen, daß ihrepartiellen Ableitungen den aufgestellten Bedingungen genügen. Diesewerden gefunden durch eine geometrische Behandlung des Pro-blems. Euler entwickelt nämlich die Beziehungen der abwickelbarenFlächen zu den Raumkurven, und zeigt, daß die Tangenten einerbeliebigen Raumkurve stets eine abwickelbare Fläche be-stimmen; die Koordinaten eines beliebigen Punktes einer solchenwerden nun folgendermaßen dargestellt (vgl. Fig. 50). AT, TU, UV

seien die Koordinaten t, u, veines Punktes V der Raum-kurve, S der Schnittpunktseiner Tangente mit derxy - E bene. 31 der Schnitt-punkt von S U mit derx- Achse. Die entsprechendenGrößen für einen Xaehbar-punkt v sind mit kleinenBuchstaben bezeichnet, sodaß z. B. At = t -f dt ist,usw. Ist ferner u 31UT = £,L U VS = fr, und sind u = f(t )und v = <p(t) die Gleichungender Raumkurve, so ist:

dt

! Tt 31 m.

Fig. 56.

, t dt

Uu =

sin £ ’

dv = Uu ctg fr =

_ dt

sin £ tg fr

Daraus folgt für das Kurvenelement: Vv =

d t

sin £ sin ■9'

Sind nun x,

y, z die Koordinaten eines beliebigen Punktes Z auf der Tangente VS,und ZV = S, so hat man:

x = t — s sin fr ■ sin g; y = u — s ■ sin fr • cos £; z = v — s cos fr,wobei durch die Gleichungen

tg£ = ^ f ; tgfr= , ---.-r; du = f'(t)dt: dv = q>'(f)dt

die Winkel £ und fr in Funktion von t bestimmt, also die Koordi-naten x, y, z eines Punktes einer beliebigen abwickelbaren Fläche als