Raumkurven und Flächen.

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Funktionen der beiden Parameter s und t dargestellt sind. Die Be-ziehungen zwischen den Winkeln J und fr und den früher benutztenGrößen I, »i, n, l, u, v ergeben sich durch Einführung des Kontin-genzwinkels Svs = dco, für welche Euler zunächst die Gleichungherleitet: da 2 = tffr- 2 + dt? sin 2 fr. Es ist dann:

l ■ sin tu + A cos co = sin t sin fr; »> sin co + u cos m = cos t sin fr;

und:

l • cos a — A • sin co

n • sin co -f- v cos co = cos fr(d sin J sin fr)

d a

m cos co — cc sin co =

d (cos fr sin £)

n cos co — v sin co =

d cos frda

Damit sind l, m, n, k, u, v durch t und fr ausgedrückt; es läßt sichnoch die bemerkenswerte Beziehung nachweisen:

dl_

dl

d m

tl u

dn

dv

= — ctg co.

Schließlich wird gezeigt, daß der Schatten, den ein leuchtenderKörper von einem dunkeln erzeugt, ein solches „solidum“ darstellt,und daraus ebenfalls die Gleichung der abwickelbaren Fläche her-geleitet.

Ungefähr in dieselbe Zeit fällt die erste Untersuchung vonMonge über diesen Gegenstand, die sich in etwas anderer Richtungbewegt, nämlich ein ,,Memoire sur les Developpees, les Rayons decourbure et les diflerents genres d’inflexion des courbes ä doublecourbure“, das schon im Jahre 1771 der Akademie eingereicht, abererst im 10. Band der Mem. div. Sav. (1785), p. 511—550, veröffentlichtund später von Monge seinen „Feuilles d’Analyse“ als Schlußkapiteleinverleibt wurde. Schon dieses erste Werk zeigt alle Vorzüge vonMonges Darstellungsweise, vor allem eine eminente Sicherheit desräumlichen Anschauungsvermögens; man muß geradezu sagen, daßMonge mit bloß vorgestellten räumlichen Gebilden ebenso leichtoperiert, wie ein anderer mit gezeichneten Figuren in der Ebene.Dazu kommt eine ungemeine Eleganz in der Beweisführung undeine staunenswerte Gewandtheit in der analytischen Formulierungdifferential-geometrischer Beziehungen. — Mo»ge schickt zunächsteinige Hilfsaufgaben über Punkte, Geraden und Ebenen voraus,die er in den F. d’A. in der Einleitung behandelt, und erläutertdann einen für das Folgende wichtigen Begriff, nämlich den derPolachse (axe des pöles) eines Kreisbogens; er versteht darunterden geometrischen Ort der Pole, d. h. der Punkte, die von allen

Caxtor, Geschichte der Mathematik IV. 35