532

Abschnitt XXIV.

Punkten des Kreisbogens gleichweit entfernt sind; d. h. die Polachseist das im Mittelpunkt eines Kreisbogens auf seiner Ebene errichteteLot. Unter Benutzung dieser Bezeichnung ist also die Polachsefür ein durch drei konsekutive Punkte bestimmtes Bogenelement einerKurve die Schnittgerade zweier konsekutiver Normalebenen.Die Gesamtheit aller dieser Geraden ergibt den Ort der Pole (surface despöles) 1 ) für alle Bogenelemente der ganzen Kurve. Es ist eine abwickel-bare Fläche und auf ihr liegen auch die sämtlichen Evoluten der Kurve;eine solche wird von Monge in anschaulicher \Y T eise definiert als derOrt der Schnittpunkte konsekutiver Normalen; er zeigt, wie man zu einerbeliebigen Normale geometrisch die Nachbamormale findet, die sieschneidet, zu dieser ebenso eine dritte usf. Er hat also damit nicht bloß denBegriff derEvolute einer Raumkurveneu eingeführt, sondern auchgezeigt, daß jede Raumkurve unendlich viele Evoluten hat,daß alle auf der surface des pöles liegen und wie sie konstruiertwerden. — Monge zeigt dann sofort, daß der Ort der Krümm ungs-centra auch auf der Polarfläche liegt, aber, im Gegensätze zu denebenen Kurven, keine Evolute darstellt, außer eben bei einer solchenKurve. Ferner beweist er, ebenfalls rein geometrisch, den interessantenSatz, daß die Evoluten geodätische Linien (in moderner Aus-drucksweise) der Polarfläche sind. Monge drückt sich folgender-maßen aus: „on aura une developpee, si, par un de ses points, onmene une tangente ä la surface developpable qui est le lieu de ses pöles,et si Fon plie librement sur cette surface le prolongement de cette

tangente“. Die Beweisführung, die aufdem hier von Monge benutzten Ver-fahren des „plier librement“ beruht,ist so charakteristisch für die Ge-wandtheit und Eleganz, mit derMonge im Raum operiert, daß wirwenigstens die Grundgedanken kurzC andeuten wollen: er vergleicht dieoben erwähnte Tangente mit einemunendlich dünnen Band, das übereine Keilkante gelegt wird, hier alsoüber eine der Mantellinien, längs derzwei konsekutive Elemente der ab-wickelbaren Fläche zusammenstoßen,und zeigt, daß die beiden Teilederselben AB und BC (s. Fig. 57) mit der Keilkante gleiche Winkel

>) Daher die heutige Bezeichnung: „abwickelbare Polarfläche“.