Kaumkurven und Flüchen.

533

machen, daß also i AB 0 = L O'BC ist. Dies trifft aber auch fürjede Evolute auf Grund der von Monge gegebenen Definition zu.Daraus folgt dann sofort, daß ABC in eine Gerade ABC übergeht,wenn die zweite Ebene um 00' gedreht wird, bis sie mit der erstenzusammenfiillt, d. h. daß bei Abwicklung der Polarfläche in eineEbene die Evoluten in Gerade übergehen, daß sie also kür-zeste Linien der Polarfläcbe sind. Dieser geometrischen Her-leitung folgt dann der analytische Beweis, sowie eine differential-geometrische Herleitung der geodätischen Linien für beliebicre(also nicht abwickelbare Flächen), die in den Feuilles d’Analysefehlt und die auf der für abwickelbare Flächen gegebenen fußt.Monge betrachtet nämlich ein Element Mm einer geodätischenLinie ML und legtdurch M und m Ebenenparallel der yz- Ebene,welche die Tangential- aebenen in M und m nach0 T und <jt schneiden.

Q und q sind die Pro-jektionen von M undm auf die xy- Ebene,ferner ist

Mn || Qq-, Q’M' || QM,

-V -Y I! QQ’-,

der Winkel M' Mm istmit v bezeichnet, undes ist dann nach be-kannten Formeln dersphärischen Trigono-metrie

cos v = cos Q’ Qq ■ cos M’MN ■ cos m Mn + sin M' MX sm nt Mn.Nun ist oben gezeigt worden, daß für geodätische Linien

Fig. 58.

L Mmt = gm L — v + dv

ist; die beiden Winkel v und v + dv sind also nur verschieden durchdie Änderung des Winkels M'MN-, das Differential von cosv istalso = 0, wenn man bei der Differentiation den i M'MN als kon-stant ansieht. Bildet man also das Differential unter dieser Voraus-setzung und drückt dabei die Winkelfunktionen durch die Differentiale

35 *