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Abschnitt XXIV.

von x,y,z aus, so erhält man die Differentialgleichung der geo-dätischen Linien, nämlich:

(ds 1 -f- dz 1 ) d 2 y = ^dydz — J d 1 z,

wo ds 1 — dx 2 + dy s , und wo die Differentiale von z vermöge derFlächengleichung durch x, y und ihre Differentiale auszudrücken sind.

Daran schließt sich eine Anwendung auf ebene und sphärischeKurven: für erstere ist die Polartläche ein Zylinder, der auf derKurvenebene senkrecht steht, und dessen Basis die gewöhnlicheEvolute der Kurve ist; für letztere ist es ein Kegel, dessen Spitze imMittelpunkt der Kugel liegt. Es folgen einige allgemeine Bemer-kungen geometrischer Natur über abwickelbare Flächen überhauptund ihre Rückkehrkante, für welche Monge den Namen „arete derebroussement“ eingeführt hat. Die analytische Behandlung geht ausvon der Kurvengleichung in der Form y — <p(x)\ z = 4<(x), und eswerden nacheinander die Gleichungen der Normalebene, der abwickel-baren Polarfläche, ihrer Rückkehrkante und einer beliebigen Evoluteaufgestellt. Dann kommen Bemerkungen über dje zwei Arten vonWendepunkten einer Raumkurve, die Monge als „points de simpleinflexion“ und „points de double inflexion“ unterscheidet. Die ersterensind Stellen, wo vier konsekutive Punkte in einer Ebene liegen;hier werden zwei konsekutive Polarachsen parallel, die Rückkehr-kante der Polarfläclic hat einen unendlichen fernen Punkt, oder, inmoderner Ausdrucksweise: die Torsion der Kurve ist = 0. AlsBedingung für solche Punkte findet Monge:

di J . *** _ d l z . d lli = o

dx 1 dx 9 dx * dx s

Letztere, die „points de double inflexion“ sind Stellen, wo drei kon-sekutive Punkte in einer Geraden liegen, d. h. wo die Krümmungder Kurve = 0, und der Krümmungsradius unendlich wird. Umsolche Punkte zu bestimmen, wird zunächst für den Krümmungs-radius die Formel entwickelt

[i + ?'*-F tF *] s

Vf " s + V " ! + ( <p' V — V <p'V

Daraus ergibt sich als Bedingung für einen solchen Punkt: qp" = 0;

= 0. Den Schluß bilden Betrachtungen über die Developpee einerabwickelbaren Fläche; es ist dies die abwickelbare Fläche, die heutedie rektifizierende heißt. Von dieser weist Monge folgendeEigenschaften nach:

1. Wird die Developpee in einer Ebene abgewickelt, so geht dieRaumkurve in eine Gerade über. Monge drückt allerdings diesen