Kaumkurven und Flächen.

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Satz etwas anders aus, er sagt nämlich: wenn eine der rektifizierendenEbenen mit der in ihr liegenden Kurventangente auf der Developpeerollt, so beschreibt diese Tangente die abwickelbare Fläche, die vonden Tangenten der Raumkurve gebildet wird.

2 . Jedes Element einer abwickelbaren Fläche (d. h. der Streifenzwischen zwei konsekutiven Mantellinien) kann angesehen werden alsFlächenelement eines Kegels, dessen Spitze der Schnittpunkt derbeiden Mantellinien, und dessen Achse die zugehörige Erzeugende derDeveloppee ist.

3. Ist die Developpee ein Zylinder, so haben alle Mantelliuiender abwickelbaren Fläche gleiche Neigung gegen dessen Mantellinien.

Der Zeit nach folgt nun Tinseau (Offizier im Geniekorps) miteiner Arbeit: „Solution de quelques problemes relatifs ä la theorie dessurfaces courbes et des courbes ä double courbure“ 1 ) (1774). Hierkommt nur der zweite Teil in Betracht, wo er von Raumkurven spricht, die Gleichung der von den Tangenten gebildeten abwickel-baren Fläche aufstellt, und die zwei Arten von Wendepunkten, ganzwie Monge, unterscheidet, und zwar als „points d’inflexion lineaire“(Krümmung = 0) und „points d’inflexion plane“ (Torsion = 0) unter-scheidet. Er stellt weiter die Gleichung der Schmiegungsebene auf,wobei sich, wohl zum erstenmal, der Satz findet, daß die Ortho-gonalprojektion einer Raumkurve auf eine Ebene dann einenWendepunkt hat, wenn die Schmiegungsebene auf der Pro-jektionsebene senkrecht steht Endlich werden noch Formelnentwickelt für die Komplanation einer abwickelbaren Fläche und fürdie Kubatur des Raums, der von ihr, der »//-Ebene und den beidenEbenen begrenzt wird, welche zwei beliebige Mantellinien auf die»//-Ebene projizieren.

Eine zweite, größere Abhandlung von Monge, die nach derersten, vorhin erwähnten, eingereicht (1775), aber vor ihr veröffent-licht 2 ) wurde, heißt: „Sur les Proprietes de plusieurs genres de Sur-faces courbes, particulierement sur celles des Surfaces developpables,avec une Application ä la Theorie des Ombres et des Penombres“-Monge erwähnt darin seine eigene frühere Arbeit 3 ), sowie diejenigeEulers 4 ) mit der Bemerkung: ,je suis parvenu ä des resultats, qui mesemblent beaucoup plus simples“. Die Arbeit bringt also keine wesent-lich neuen Ergebnisse, aber eine einfachere und elegantere Her-leitung. Zunächst wird scharf unterschieden zwischen abwickelbarenFlächen und allgemeinen Regelflächen mit der Bemerkung, daß der

') Jlern. div. Sav. IX, 1780, p. 503—024.*) Siehe S. 531 ff. 4 ) Siehe S. 520 if

! ) Ebenda, p. 382—440.