Abschnitt XXIV.
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„auteur de la coupe de pierres' 1 (also wohl Frezier) sich hierübernicht ganz klar sei; die abwickelbare Fläche wird definiert durch dieEigenschaft, daß sie sich ohne Faltung und Zerreißung in eineEbene ausbreiten lasse, und ihre Gleichung auf drei verschiedeneArten und in drei verschiedenen Formen hergeleitet, nämlich:
1. in endlicher Form, indem die Koordinaten eines beliebigenPunktes auf der Tangente der Raumkurve aufgestellt werden. Hier-bei treten zwei, die Raumkurve bestimmende, willkürliche Funktionenauf; diese werden durch zweimaliges Ditferenzieren eliminiert, was dieDifferentialgleichung rt — s 2 = 0 liefert.
2. Diese wird direkt gewonnen durch Aufstellung der Schnittgeraden zweier konsekutiven Tangentialebenen und Berücksichtigungder Tatsache, daß für eine abwickelbare Fläche, und nur für einesolche, diese Schnittgerade dieselbe bleibt, gleichviel ob bloß x oderbloß y sich ändert.
3. Längs eines Flächenelements (= Streifen zwischen zwei kon-sekutiven Mantellinien) sind p und q beide konstant; wenn manzum nächstfolgenden übergeht, so ändern sich beide gleichzeitig.Nun kommt der in seiner Neuheit überraschende Schluß: p und qsind also „constants ensemble et variables ensemble, donc on doit avoirp = <p (q)“, d. h. p muß Funktion von q sein (oder umgekehrt). Da-mit ist zugleich ein erstes Integral der Differentialgleichung
rt - s 2 = 0
gefunden.
Ähnlich wie bei Euler (s. S. 531), aber weiter ausgeführt, folgt nuneine Anwendung der Theorie der abwickelbaren Flächen auf die „ombreset penombres“. Sind zwei Körper, ein leuchtender und ein dunkler,gegeben, so zeigt Monge, daß die Grenze zwischen Kern- und Halb-schatten gebildet wird von einer abwickelbaren Fläche, welche diebeiden Körper berührt; das Gleiche gilt für die Grenze von Halb-schatten und Licht; die Rückkehrkante liegt im letzteren Fall zwischen,im ersteren außerhalb der beiden Körper. Es wird dann zunächstder einfachste Fall erledigt, daß der leuchtende Körper ein Punkt ist.Sind a, h , c die Koordinaten des Punktes, ist z = K{x, y) die Glei-chung der Fläche und hieraus * z = V, ~ = (J, so ergibt die Glei-
dx ’ dy °
ehung: z — c — (x — rt) V + (y — b) Q in Verbindung mit z = K(x, y\durch Elimination von z die Horizontalprojektion der Licht- undSchattengrenze oder der Berührkurve des von dem Punkt an dieFläche gelegten Tangentialkegels. Damit ist zugleich die erstePolarfläche des Punktes in bezug auf die Fläche aufgestellt, wenn-gleich diese Bezeichnung natürlich nicht auftritt. Es wird dann noch