Raumkurven und Flächen.

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die Gleichung des Tangentialkegels angegeben und bemerkt, daß da-mit zugleich die Aufgabe gelöst ist, den scheinbaren Umriß derFläche in Zentralperspektive zu bestimmen.

Daran schließt sich die Lösung der allgemeineren Aufgaben, diegemeinsame Developpable zweier Flächen zu finden, und durch zweigegebene Kurven eine abwickelbare Fläche zu legen. Monge stelltdie Tangentialebene für beide Flächen

z 1 = A\ \x l , //j i und z 2 = A' ä (x s , y s )

auf, nämlich:

z- K x = )\ ix - x x ) + q l (y — y x )

und

z — K a _= p , (x — x t ) + 3 , [y — ?/,). (1)

Soll nun eine Ebene beide Flächen berühren, so müssen diese beidenGleichungen identisch sein, d. h. es muß sein:

1h = Ihi <h = f h- K i —lh T i ~ ( h lk = K i - lh x i - r hlh- <-)Eliminiert man aus diesen drei Gleichungen und einer der Gleichungen(1) drei der Größen x XJ ?/,, x,, y t , so erhält man die Gleichung einerEbene,

z — xLx -t~ Hy C, (3j

wo die Koeffizienten A, B, C Funktionen der vierten, nicht eliminiertenVariabein, z. B. x lt sind, die also hier als Parameter auftritt. Diffe-renziert man (3 i nach diesem Parameter, und eliminiert ihn, so ergibtsich die Gleichung der gemeinsamen Developpabeln; sie stellt ins-besondere einen Kegel dar, wenn

ist. — Im Anschluß daran werden verschiedene analytische Problemeerledigt, deren Lösungen im vorstehenden enthalten sind, um zu zeigen,„que l’Analyse peut tirer de tres-grand secours de la connaissance desproprietes de l’etendue“. Endlich folgt die Aufstellung der Diffe-rentialgleichungen der surfaces gauches, d. h. der allge-meinen Regelflächen, und die Lösung der Aufgabe, durch dreigegebene Kurven eine Regelfiäche zu legen.

Nur kurz erwähnen wir eine Arbeit von Euler vom 8. März 1779:„De lineis curvis non in eodem plano sitis quae maximi vel minimiproprietate sunt praeditae“ D. Sie enthält eine Anwendung des Metho-dus inveniendi, d. h. der Variationsrechnung auf Raumkurven, und suchtdie Gleichungen y = f(x), z = q> (x) einer solchen so zu bestimmen,

1 ) M. P. IV, p. 18—4-2.