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Abschnitt XXIV.

daß I Vdx ein Maximum oder Minimum wird, wo V eine Funktionvon x, y, z und den Diü'erentialquotienten von y und z nach x ist.Die Auflösung ist folgende: Euler setzt zunächst

d ii d ii

dx =1> ' Jx = q '->

F erner

d z ,1x ==p: '

dp /d x = ® ’

dq

dx

dqd x

= r

dV

dx

= M:

dV

oy

dV

dz

= ^5

°y _ p.

dp ’

dVdp’

r usw.

g V = 0dq V ' '

= i y ;

und findet als Bedingungen:

dl‘

dx

x- r +

d*Q

dx*

d 3 R

V' _ dl l , d ' Vdx d x*

dx»

d s R'

dx

dl

cq

~ = Q'.

+ - •s d--

■ = o,

• = 0 .

Treten nur die Ditferentialquotienten erster Ordnung p und p inF auf, so reduzieren sich diese Gleichungen auf:

v _ d I ldx

dx

Diese Methoden werden auf einige Beispiele angewendet.

Unter den Arbeiten, die sich auf Flächenkurven (d. h. Kaum-kurven, die auf einer gegebenen Fläche liegenj beziehen, ist die be-deutendste die von Euler über geodätische Linien: ,,Accuratior evo-lutio problematis de linea brevissima in superficie quacumque du-cenda“ 1 ) (25. Januar 1779). Es werden keine wesentlich neuenResultate gefunden, da ja Euler die Aufgabe selbst schon früher ge-löst hat (IIP, S. 817 ff.), bemerkenswert ist aber die Herleitung derDifferentialgleichung und namentlich ihre Integration. Zunächst werdenfolgende Bezeichnungen eingeführt:

dz = fdx + ydy, df = udx + ßdy, dg = ßdx + ydy,

so daß das Linienelement ds einer beliebigen auf der Fläche gezogenenKurve die Form erhält:

ds = Ydx 2 + dy 2 + (fdx + gdyf,oder, wenn dy = pdx gesetzt wird:

*) N. A. P. XV, p. 44—54.