Raumkurven und Flächen.
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und daraus den bemerkenswerten Satz hergeleitet, daß das Quadrateines ebenen Flächenstücks gleich der Summe der Quadrateseiner Projektionen auf drei zueinander senkrechte Ebenenist; auf die Analogie dieses Satzes mit dem pythagoreischen Lehr-satz wird ausdrücklich hingewiesen. Der Rest handelt von einigenspeziellen Regelflächen, und wird weiter unten, wo wir über die Einzel-untersuchungen berichten, nochmals zu erwähnen sein.
Eulers berühmter Satz über die Krümmungsradien der Nor-malschnitte einer Fläche steht in seinen „Recherches sur la cour-bure des surfaces“. 1 ) Die Untersuchung ist durch ziemlich umständ-liche Rechnungen geführt, von denen wir nur die Hauptresultateangeben. Euler betrachtet die Schnittkurve der Fläche mit einerbeliebigen Ebene z = ay — ßx + y, und findet für den Krümmungs-radius q dieser Kurve den Ausdruck:
= K + ß‘ — + 2ßp + (ap + ßqY+p* +
' [(“ — g)’r + [ß 2(a — q)(ß +!>)«]« ’
w0 P> r b r t s > t die bekannten Differentialquotienten sind, und zurAbkürzung ~\/\ + jr + q 2 = u gesetzt ist. Hieraus wird nun derKrümmungsradius r (natürlich nicht zu verwechseln mit demDifferentialquotienten r) eines beliebigen Normalschnitts herge-leitet, und zu diesem Zweck der Neigungswinkel ff der Schnittebenegegen die a;?/-Ebene, und der Winkel £, den ihre Spur in dieser
Ebene mit der x -Achse macht, eingeführt. Es ergibt sich dann ein
ziemlich komplizierter Ausdruck; mit Hilfe desselben werden zunächstdie Krümmungsradien der Schnittebene, welche durch die z -Koordinategeht, und der zu ihr senkrechten Ebene berechnet, die Euler als„sections principales“ bezeichnet. Nun wird der Winkel (p eingeführt,den die Ebene des beliebigen Normalschnitts mit der eines der Haupt-schnitte bildet. Hierdurch ergibt sich:
_ eo^ ( - pi + g8)M3 _
* r(p—qtg<f ■«)*-}-t(q + ptg<p-u )‘ +2s (p — qtgtf ■ ■ «) ’
also ein Ausdruck von der Form:
_ t _
r L -\- 31 cos 2 <f + IV sin 2 qp ’
wo L, M, N Funktionen der Differentialquotienten p, q, r, s, t sind,die sich leicht angeben lassen. Aus dem letzten Ausdruck folgertnun Euler die wichtigen Sätze:
1. Die Krümmung zweier Flächenelemente stimmt überein, wenn