Raumkurven und Flächen.
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surfaces“ 1 ) im Jahr 1776 der Akademie vorgelegt. Es enthält nebendem sogenannten Meusniersehen Theorem noch die Entdeckung einerfundamentalen Eigenschaft der Minimalflächen, nämlich, daßihre Hauptkrümmungsradien überall gleich und entgegengesetzt sind,sowie die ersten speziellen Minimalflächen. Auch der glücklicheGedanke, eine Fläche in der Umgebung eines ihrer Punkte zu ersetzendurch eine Annäherungsfläche 2. Grades (jetzt Schmiegungspara-boloid genannt), taucht in dieser Arbeit zum erstenmal auf. Meusnierbeginnt nämlich seine Untersuchung eines Flächenelementes damit,daß er die Flächengleichung auf ein Koordinatensystem (u , v, t) be-zieht, dessen uv- Ebene die Tangentialebene und dessen t- Achse dieNormale des betr. Punktes ist. Dann gibt es eine Fläche von der
Form: t = cu welche dieselbe Krümmung hat, wie das
Flächenelement. Wird nun das Koordinatensystem um einen Winkel<p, der durch tg cp = , bestimmt ist, um die Normale gedreht, so
nimmt die Gleichung der Annäherungsfläche die Form an:2t = Au* + Bv' 2 , wo u und v die neuen Koordinaten sind und Aund B von c, e, f und dem Winkel cp abhängen. Damit beweist nunMeusnier folgenden Satz:
Jedes Flächenelement kann angesehen werden als er-zeugt durch Rotation eines Kreises um eine zur Tangential-ebene des Elementes parallele Achse. Ist r der Radius desKreises, q der Abstand der Rotationsachse von der Tangentialebene,so sind r und q durch die Gleichungen bestimmt:
1 c + f±V(c-f) , + ie' 1 c + f+y^-D' + ie*-
r 2 Q 2
Meusnier wählt das obere Vorzeichen, und er nennt r und pdie „rayons de courbure“ des Flächen-elementes. Es ist dies wohl das ersteVorkommen dieses Ausdrucks inder Flächentheorie; in Eulers Ab-handlung*) findet er sich noch nicht.
Daran schließt Meusnier zwei wich-tige Folgerungen, die sich durchBerechnung des Krümmungsradius einesschiefen Schnittes ergeben. AlsAchsen des Koordinatensystems (Fig. 60)nimmt er die Flächennormale AD,und die Richtungen AG und AL, in welche die „rayons de
*) Mem. div. Sav. 1785, p. 477—510. *) Siehe S. 545.
CiXTOR, Geschichte der Mathematik IV.
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