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Abschnitt XXIV.

courbure“ r und p fallen. Ist nun A Q die Schnittgerade einer belie-bigen, durch A gehenden Schnittebene mit der xy-Ebene, a ihrNeigungswinkel gegen dieselbe, <)7 GA Q = tc, so erhält man für denKrümmungsradius R dieses Schnittes:

2 r p sin <o

r q sin a>r sin 7t a —(- p cos

( 1 )

(r -f- p) -)- (r — p) sin 2 n

Setzt man a — 90°, so ergibt sich der Krümmungsradius R' einesNormalschnittes, nämlich:

( 2 )

r + q -)- (r — q) sin 2 ti

Der Vergleich dieser Gleichung mit der Euler sehen Formeli S. 546) zeigt, daß r und p nichts anderes sind, als die von Eulerberechneten extremen Werte der Krümmungsradien der Nor-malschnitte. Das ist die erste der beiden Folgerungen. Die zweiteist das aus (1) und (2) sich sofort ergebende Meusniersche Theorem:

R = R' sin w,

das Meusnier in folgende geometrische Form kleidet:

„Si l’on coupe un element de surface par un plan qui lui soitperpendiculaire, qu'on imagine une sphere qui lui soit tangente, etdont le rayon soit egal au rayon de courbure de la section, dontnous venons de parier, qu’on fasse par l’intersection du plan eoupantavec le plan tangent un autre plan quelconque, il fera, dans la sphere,et dans l’element de surface des sections d’egale courbure.“

Mit Zugrundelegung der Formel (2) wird nun die Art der Wöl-bung des Flächenelementes, und ihre Abhängigkeit vom Vorzeichender Radien r und p diskutiert, die Richtung bestimmt, für welche Runendlich groß wird, und der Spezialfall, daß r oder p unendlichwird, erörtert. Sodann wird auf ein beliebiges Koordinatensystemübergegangen, und die Größen c, e, f, und damit auch die Haupt-krümnnmgsradien durch die partiellen Ableitungen erster und zweiterOrdnung von z nach x und y ausgedrückt. Es folgt noch eine An-wendung auf Rotationsdächen, und die Bestimmung der Flächen, fürwelche r = p ist, was natürlich auf die Kugel führt.

Der oben (S. 547) aufgestellte Satz über die Erzeugung einesFläehenelementes durch Rotation eines Kreises wird nun angewendet,um die wichtigste Eigenschaft der Minimalflächen herzuleiten, näm-lich, daß r + p = 0 ist. Meusnier berechnet unter Zugrunde-legung dieser Erzeugungsweise den Inhalt eines Flächenstückchensvon gegebener Begrenzung, und stellt die Bedingung dafür auf, daßdieser ein Minimum wird.