Raumkurven und Flächen.

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Er verführt dabei folgendermaßen: Das Flächenelement entstehedurch Rotation eines unendlich kleinen Kreisbogens AmB , dessenHalbierungspunkt m und dessen Sehne m

AB = 2 a ist, um eine Achse HK,

die der Sehne AB parallel ist, undvon ihr den Abstand AH=a hat.Der Radius r des Kreisbogens istdann der eine, der Abstand mg desMittelpunktes m von HK der andereHauptkrümmungsradius o des Ele-mentes. Ist nun g der Schwerpunktdes Bogens AmB, so muß wegen derGuld in sehen Regel das Produkt

gl • AmB

ein Minimum werden. Hierfür ergibtsich unter der Voraussetzung, daß asehr klein ist, daß also:

AmB = 2 a +

2 r

gesetzt werden kann:

(e — r)

Zwischen den beiden Variabein r und p besteht aber die leicht her-zuleitende Beziehung:

Unter Berücksichtigung dieser Gleichung ergibt sich durch Differen-tiation als Bedingung dafür, daß das Flächenelement einMinimum werden soll, >• + p = 0.

Man verdankt also Meusnier den Satz, daß in jedemPunkt einer Minimalfläche die Hauptkrümmungsradien

gleich und entgegengesetzt gerichtet sind. Auf Grund hiervonkann die Differentialgleichung der Minimalflächen leicht auf-gestellt werden, da ja r und p in Funktion der Difl’erentialquotientenp, q, r, s, t (für die drei letzteren schreibt Meusnier: m, n, s ) be-kannt sind. Hierbei ergibt sich die bekannte Gleichung:

r(l + '/)+ +P 2 ) — - P ( l s = 0.

Meusnier bemerkt, daß man außer der Ebene noch keine Flächekenne, welche dieser Gleichung genüge. Er findet nun zwei partikuläreIntegrale, das eine dadurch, daß er die Gleichung zerlegt in r + t = 0

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