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Abschnitt XXIV.

und rq 3 4- tp 2 — 2pgs = 0. Die zweite lehrt, wie Monge gezeigt hat 1 ),daß die Fläche erzeugt wird durch Bewegung einer Geraden parallelder xi/-Ebene. Mit Zuziehung der ersten ergibt sich die windschiefeSchraubenfläche. Ein zweites Integral findet er, indem er die Rota-tionsflächen sucht, die zugleich Minimalflächen sind; dies führt aufdas Katenoid. Meusnier ist also auch der Entdecker der erstenspeziellen Minimalflächen.

In sehr eleganter Weise wird dann noch die Differentialgleichungder abwickelbaren Flächen aus der Bedingung abgeleitet, daß r oderp unendlich wird, und schließlich gezeigt, daß für alle Regelflächen,die nicht abwickelbar sind, r und q verschiedenes Vorzeichen haben.

Damit sind die allgemeinen Untersuchungen über die Theorieder Flächen erledigt, und wir wenden uns nun zu einer Gruppe vonArbeiten, die sich damit befassen, die Gleichungen von Flächenmit gegebenen Eigenschaften aufzustellen. Hierher gehören jaeigentlich die abwickelbaren Flächen auch schon als besonderer Fall.Zuerst steht hier Lagrange mit seinem berühmten „Essai d’une nou-velle methode pour determiner les Maxima et les Minima des Formulesintegrales indefinies“*), wo nach den Methoden der Variationsrechnungdie Differentialgleichung der Minimalflächen in der bekannten Formaufgestellt wird: r (1 + q 2 ) + f (1 + P 2 ) — 2pqs = 0. Dann folgtEuler mit einer interessanten Abhandlung: „Evolutio insignis para-doxi circa aequalitatem superficierum“ 3 ) Es handelt sich hier um dieAufgabe, zwei Flächen zu finden, so daß die über demselbenStück der x?/-Ebene stehenden Flächenteile gleich sind. Euler kommt zunächst darauf zu sprechen, daß hier ein wesentlicher Unter-schied zwischen ebenen Kurven und Flächen besteht, insofern zwei Kurven,bei denen zu gleichen Abszissen gleiche Bögen gehören, stets kon-gruent sind, während dies bei zwei Flächen der oben genannten Artnicht zuzutreffen braucht. Dies ist das Paradoxon, von dem der Titelspricht. Es läßt sich nun leicht zeigen, daß der obigen Forderunggenügt wird, wenn p* + q i für beide Flächen denselben Wert haben.Daß dies für zwei verschiedene Flächen überhaupt möglich ist, zeigtEuler an dem Beispiel der beiden Paraboloide

«’+ y*2 «

und z

xy

a

Zwei Flächen dieser Art nennt er kongruent, und die Aufgabe, alleFlächen zu finden, die einer gegebenen „kongruent“ sind, kommt dar-auf hinaus, die Gleichung p 8 + q* = fix, y ) zu integrieren, was Euler

l ) Siehe S. 365.769, p. 104—128.

•) Miscell. Taurin. 1760.

*) X. C. P. XIV, Pars I,