Raumkurven und Flächen.

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als ein „problema difficillimum“ bezeichnet. Doch gelingt ihm dieLösung wenigstens für die Ebene z — a + mx + ny. Hier ist alsop *-(- (f = m* + « 2 . Diese Gleichung integriert Euler auf folgendemWege: er setzt

= cos o 1 /m* + n 2 , = sin w )//« 2 4- w 2

dx f ’ dy ’

und findet nun durch partielle Integration:

z = ]/w 2 + h 2 £(a; cos a + y sin tu) + f\x sin a — y cos w) rfcoj •

Er macht nun folgenden Schluß, der in derselben oder in ähn-licher Weise öfters bei ihm wiederkehrt: Soll das Integral ausführbarsein, so muß x sin « — y cos <n eine Funktion von a sein, die er mitSl bezeichnet; so ergibt sich also die Flächengleichung durch Elimi-nation von (o aus den beiden Gleichungen:

z = y»? + n 2 £(;z • cos m + y sin w) + j ßrfwj; il = x sin a — y cos «.

Es sind dies abwickelbare Flächen, die sich als Enveloppen einerSchar von Ebenen mit gleicher Neigung gegen die xy Ebene er-geben. Denselben Satz samt Umkehrung hat Monge später in deroben (s. S. 535 ff.) besprochenen Arbeit bewiesen und in die Feuillesd’Analyse aufgenommen (s. S. 503).

Mit derartigen Aufgaben hatte Euler ein bis dahin noch wenigbearbeitetes Gebiet der Analysis, nämlich die Integration partiellerDifferentialgleichungen, betreten, und es war natürlich, daß er sichmit ähnlichen Untersuchungen, deren große Wichtigkeit er wohl er-kannte, noch weiter beschäftigte. Er formulierte das Problem allge-meiner mit dem Titel seiner nächsten Arbeit hierüber: „De methodotangentium inversa ad theoriam solidorura translata“ *) (2. Sept. 1776).In der Einleitung hebt er die Bedeutung derartiger Forschungen her-vor, und bemerkt, daß sie himmelweit („toto coelo“) von der Behand-lung der Funktionen einer Variabein verschieden seien. Er nimmtdann gleich eine spezielle Aufgabe vor, nämlich die Flächen zu be-stimmen, für welche das Stück ZN der Normalen zwischen Flächeund xy- Ebene einen konstanten Wert a habe; diese Aufgabe erscheintihm deshalb besonders geeignet, weil hier die Resultate der analyti-schen Lösung, die „ob novitatem“ manchem nicht ganz einwandfrei(^suspecta) erscheinen könnten, geometrisch ohne weiteres einleuchten.Evident ist, daß die zwei Parallelebenen zur a:y-Ebene im Abstand a,sowie die Kugeln und Rotationszylinder, die beide berühren, der For-derung genügen. Deren analytischer Ausdruck ist:

') N. A. P. VI, p. 77—94.