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Abschnitt XXIV.

zV 1 + F + T = n -

Sie wird auf zwei Arten hergeleitet, zuerst geometrisch, dann analy-tisch auf Grund der Überlegung, daß ZN konstant bleibt, sowohlwenn x als wenn y allein variiert. Die Integration dieser Gleichungberuht auf einem ganz ähnlichen Gedanken wie in der vorigen Arbeit.Da nämlich:

P+<1 = *1 -

so kann man setzen:

—2 S Fa*— z*

P = z ~ cos ff, <L= e ~ -■ S1U V,

setzt man diese Werte in dz = pdx qdy ein, so folgt durch teil-weise Integration mit C als Integrationskonstante:

C — y<z 2 — 2 S = x • cos (p + y sin qc + j(x sin cp — y cos qp)rfqr.

Soll die rechte Seite auch integrabel sein, so muß x sin (p — y cos qreine Funktion von sein, also

x sin qr — y cos qr = <P.

Damit ist die Aufgabe eigentlich gelöst; denn man braucht bloß fürirgend eine Funktion von qr einzusetzen, so ergibt die Eliminationvon qr aus den beiden letzten Gleichungen eine Fläche der verlangtenArt. Der geometrische Charakter derselben wird jedoch deutlicherdurch eine Umformung der Gleichungen. Euler setzt nämlich:

y« ä — = i"i cos qr / <Pd qr — <5 sin qr =

sin <P I 0dy + (p cos qr = u,

so daß also t als eine willkürliche Funktion von u angesehen werdenkann. Dadurch ergeben sich die Gleichungen:

x = t — v cos qr ; (/ = !< + r sin qr; z = ]/a 3 — v s .

Diese lassen eine einfache geometrische Deutung zu: sind nämlich tund m rechtwinklige Koordinaten einer in der i'y-Ebene willkürlichgezogenen Kurve, so entsteht die Fläche durch Bewegung eines Kreisesvom Radius a, dessen Mittelpunkt auf der Kurve fortrückt, währendseine Ebene stets normal zu der Kurve bleibt. Die Flächen sind alsodie später so genannten Kanal- oder Röhrenflächen. Euler hebtbesonders hervor, daß bei derartigen Aufgaben nicht bloß willkürlicheKonstanten, sondern willkürliche Funktionen auftreten, und daß