Raumkurven und Flächen.

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diese auch wirklich ganz beliebig, sogar diskontinuierlich 1 ! an-genommen werden können. — Auf die analytische folgt eine geo-metrische Lösung, als einfachstes Beispiel von Flächen dieser Artnennt Euler die RingHäche, von der er sagt, daß sie wie eine Wurstaussehe („farciminis figuram mentiens“), und schlägt schließlich vor, diehier gefundenen Flächen als „gekrümmte Zylinder“ (cylindri incurvati)zu bezeichnen. In derselben Abhandlung wird noch eine allgemeinereAufgabe gelöst, nämlich daß das Stück ZN der Normalen nicht konstant,sondern eine Funktion Z von z sein soll, so daß also die Differential-gleichung der Fläche in diesem Fall ist:

z]/l -+- jr -j- q-= Z.

Die Integration wird auf ganz analogem Wege bewerkstelligt undführt auf die Gleichungen:

x = t + v cos (f ; y = u 4- r • sin (p ; v =

wo wieder t eine willkürliche Funktion von u ist.

Auch die geometrische Deutung ist eine ähnliche: es ist einfachan Stelle des Kreises eine beliebige, durch Z definierte Kurve ge-treten, d. h. eine Ebene, in der diese Kurve liegt, bewegt sich senk-recht zur xy -Ebene so, daß ein in ihr fest angenommener Punkt einewillkürliche Kurve beschreibt, und eiiie feste, durch diesen Punktgehende Gerade stets in die Normale der Kurve fällt; dann beschreibtdie in der beweglichen Ebene liegende Kurve eine Fläche der ge-suchten Art, die man wohl als „Gesimsfiächen“ bezeichnet hat. BeideFlächenfamilien, die Kanal- und die Gesimsflächen hat Monge unteranderen Gesichtspunkten später auch untersucht, wie wir weiter untensehen werden. Auch Euler hat sich noch einmal mit beiden Artenvon Flächen beschäftigt in den beiden Abhandlungen: „Investigatiosuperficierum, quarum normales ad datum planum productae sintomnes inter se aequales“ 8 ) (28. Dezember 1777) und „De corporibuscylindricis incurvatis“®) (21. September 1778). Was diese Neues bieten,ist im wesentlichen der Satz, daß für beide Arten von Flächen In-halt und Oberfläche nach der Guldinschen Regel berechnetwerden kann, und daß dies auch dann noch gilt, wenn die Leit-kurve nicht eine ebene, sondern eine Raumkurve ist.

Ebenfalls auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnungführt eine Aufgabe, die auch durch Übertragung eines Problems von

') Ob solche zulässig seien, war eine in jener Zeit mehrfach diskutierteStreitfrage. S. Abschn. XXVII. *) X. A. P. X, p. 41 — 46. *) Ebenda, XII,p. 91 — 100.