554

Abschnitt XXIV.

der Ebene auf den Raum entsteht, nämlich Flächen zu finden, dieeine gegebene Schar überall rechtwinklig schneiden. Sie bildet denGegenstand einer Abhandlung von Euler aus seinen letzten Lebens-jahren: „De problemate Trajectoriarum ad superficies translato“ *)(12. August 1782). Euler verfährt auch hier symmetrisch: für diegegebene Flächen schar (secandae) sei:

pdx + qdy rdz = 0

die differenzierte Flächengleichung, für die gesuchte:

Pdx + Qdy -j- Rdz = 0.

Dann ist die Bedingung der Orthogonalität:

pP + qQ + rR = 0.

Daneben besteht die allgemeine Integrabilitätsbedingung:

Nimmt man die Flächengleichungen nach z aufgelöst an, so ist dieBedingung der Orthogonalität:

pP + q Q + 1 = 0.

Euler behandelt nun den allgemeinen Fall derart, daß er zwei Inte-grale, u und v, sucht, die je eine Variable nicht enthalten, so daßalso z. B. u nur x und y , v nur y und z enthält. Dann heißt z. B.für u die Bedingungsgleichung:

du , du ,,^ + ^2 = °:

die nach der gewöhnlichen Methode behandelt werden kann, sofernauch p und q von z frei sind. Ist so «, und auf dieselbe Weise vbestimmt, so genügt auch jede Gleichung von der Form

v = (piu)

der Differentialgleichung. Euler nennt sie das „integrale completum“;ihre Herleitung geschieht jedoch in den meisten Beispielen, die ergibt, mit Hilfe des S. 551 erwähnten Schlusses. So ist für dieKugeln:

x*+ y 2 + z 2 - c 2 = 0; P = ~*', 2=^,

also die Differentialgleichung der gesuchten Flächen:

i M. P. VII, p. 33—60.