Kaumkurven und Flächen.

555

i-pf-e ■; =o.

Daneben ist:

dz = Pdx + Qdy.

Die Elimination von Q ergibt:

ijdz — zdy = P(ydx — xdy),

oder

also

Nun muß wieder, wenn die Integration ausführbar sein soll, P Funk-

Pd(^~J eine solche, also ist

tion von — sein. Dann ist aber auchV

wo F noch eine willkürliche Funktion ist. Damit ist das „integralecompletum“ gefunden. Diese Methoden werden noch auf verschiedeneBeispiele angewendet.

Nur kurz erwähnen wir hier eine Arbeit von Monge: „Sur l’ex-pression analytique de la generation des surfaces courbes“ 1 ), da ihrewesentlichen Resultate den Feuilles d’Analyse an verschiedenen Orteneinverleibt sind, und daher dort darüber berichtet werden wird.Monge zeigt an einer Reihe von Beispielen, daß eine Flächengattung,deren endliche Gleichung n willkürliche Funktionen enthält, durcheine partieüe Differentialgleichung w ter Ordnung definiert wird, diesich durch sukzessive Differentiation und schließliche Elimination her-leiten läßt.

Die Einzeluntersuchungen über Flächen bieten, wie schonin der Einleitung zu diesem Kapitel hervorgehoben wurde, nicht ge-rade viel Bemerkenswertes. Verschiedene befassen sich mit der Kom-planation und Kubatur bestimmter Zylinder- und Regelflächen, anderemit speziellen Regelflächen, wobei die Terminologie von der heuteüblichen wesentlich verschieden ist. 2 ) Die erste Untersuchung hier-über stammt von Braikenridge (vgl. III 2 , S. 761): „Letter to Earl

') Mem. de l’Acad. Roy. de Turin, 2. Serie, 1. partie, 1784/85, p. 19—30.

8 ) Nach Kliigel ■ III S , S. 98tf.) entsteht ein Konoid dadurch, daß eine Kurve,deren Ordinaten beständig zunehmen, und die die Abszissenachse nicht schnei-det, um diese Achse rotiert. Das Konoid im heutigen Sinne dagegen bezeichneter als Conocuneus (ib. S. 3021, das hyperbolische Paraboloid als kegelförmige Keil-fläche. S. dagegen Tinseau, S. 556.