Raumkurven und Flächen.

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.auf der (als Horizontalebene angenommenen') ary-Ebene senkrechtstehen, und deren Mantellinien stets dieselbe Horizontalneigung haben.Es sind dieselben Flächen, die Euler als „kongruent“ mit einerEbene von derselben Horizontalneigung bestimmt hat 1 ). Ihre Charak-

teristiken sind eben die Geraden, welche die Linien größten Gefälls dar-

o

stellen, die Rückkehrkanten demnach Raumkurven, deren Tangenten stetsdieselbe Horizontalneigung haben (Schraubenlinien eines beliebigen,

auf der arj/-Ebene senkrechten Zylinders). An dieses Beispiel knüpft

Monge noch eine wichtige Bemerkung, nämlich daß die Differen-tialgleichung der Charakteristiken direkt aus der partiellen

Differentialgleichung der betreffenden Flächenfamilie her-geleitet werden kann. Ist diese nämlich

*’(*> V, z , 1>, ( 1 ] = o

und ist

so ist die Differentialgleichung der Charakteristiken:

Bdy — Qdx = 0.

Als letztes Beispiel für Flächenfamilien, die durch eine partielleDifferentialgleichung 1. Ordnung definiert sind, folgen in Nr. 10 dieFlächen, welche durch Translation einer gegebenen Fläche längs einerRaumkurve, die auf einer gegebenen Fläche liegt, also noch durcheine willkürliche Funktion bestimmt wird, als Enveloppen entstehen.

on Nr. 11 ab werden Flächenfamilien behandelt, die durch einepartielle Differentialgleichung zweiter Ordnung definiert sind, undzwar zuerst die Regelflächen, deren Mantellinien alle einer gegebenenEbene Ax By -f- üz — 0 parallel sind. Zur Definition der Flächesind zwei Raumkurven (Leitkurven) nötig, die von jeder Mantelliniegeschnitten werden. Monge stellt nun die Gleichung der Fläche indrei verschiedenen Formen auf:

1. Unabhängig von den Leitkurven; hierbei ergibt sich eineDifferentialgleichung 2. Ordnung, die er sehr elegant folgendermaßenherleitet: die Mantellinie eines Punktes P(x,y,z') liegt erstens inder Tangentialebene der Fläche, also besteht für die Koordinatenx, y, z eines ihrer Punkte die Gleichung:

P 0 — x") -r q iy - y r ) - (-* — z) = 0 .

(1)

Sie ist aber auch zweitens parallel der Richtebene, also hat mau:

A (x — x") -)- B ( y — y) -f- C (z — z) = 0.

(2)

*) Siehe S. 550.

Caktor, Geschichte der Mathemstik IV.

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