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Abschnitt XXIV.

Dieselben Gleichungen gelten aber auch für einen auf derselben Mantel-linie liegenden Punkt l y (x + dx, y + dy, z + dz)-, unter Berücksich-tigung von (1) und (2) ergibt sich:

[rdx + sdy) (x — x) + (sdx + tdy) (y — y) = 0 (3)

und:

Adx + Bdy -f C(pdx -f- qdy) = 0. (4)

Die Elimination von x — x, y — y, z — z' aus (1) — (4) ergibt dannsofort die gesuchte partielle Differentialgleichung 2. Ordnung, nämlich:

{•Cq + Bfr — 2 (Cq + B) [Cp + J.) s + (Cp + A)*t = 0.

Ehe die beiden anderen Gleichungsformen hergeleitet werden, zeigtMonge (Nr. 11), wie man in diesem Fall aus der Differentialgleichungder Flächen die der Charakteristiken finden kann. Ist nämlich dieerstere:

^ {x > y, z > p> 9, r > s > 0 = o,

und ist:

= ]{■ ^ = 5; I? = T,

er ’ cs 5 ct ’

so heißt die Differentialgleichung der Charakteristiken:

Ildx 2 — Sdxdy + 'Tdy 2 = 0.

Sie zeigt, daß in jedem Flächenpunkt die Charakteristik einen Doppel-punkt hat, außer in dem Fall, wo die Differentialgleichung in zwei ratio-nale Linearfaktoren zerfällt, wo also zwei Scharen von Charakteristikenauf der Fläche vorhanden sind. In dem vorliegenden Beispiel ergibtsich als Differentialgleichung der Charakteristiken:

(Adx + Bdy + Cdz ) 2 = 0,

d. h. ein vollständiges Quadrat, so daß mau nur eine Schar vonCharakteristiken erhält, nämlich eben die Mantellinien der Fläche.

2. Um die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung zu finden,welche diesen Flächen zukommt, geht Monge wieder aus von denGleichungen ( 1 ) und ( 2 ), die eine Mantellinie der Fläche darstellen.Deren Projektion auf eine der Koordinatenebenen, z. B. die xz- Ebene,sei x = fiz + y. Dann ist, wenn zur Abkürzung

Ax -{- By -{- Cz — u

gesetzt wird,

O = Cq + B _ B{z— px— gy ^ + ecq

" Bp — Aq 1 * Bp — Aq

Nun haben für eine bestimmte Mantellinie die drei Größen a, ß, yeinen bestimmten Wert, oder, wenn eine dieser drei Größen konstantist, so sind es auch die beiden anderen; geht man aber zu eineranderen über, so ändern alle drei ihren Wert, sie sind also zugleich