Raumkurven und Flüchen.

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konstant und zugleich veränderlich, folglich müssen je zwei durcheine Gleichung verbunden sein, z. B. ß = <f\a). Man hat also alspartielle Differentialgleichung 1. Ordnung:

= <f(Ax + By+Cz).

Stellt man dieselbe Überlegung für die beiden anderen Projektionenan, so tindet man noch zwei weitere Gleichungen, also im ganzendrei, von denen jede eine Folge der beiden anderen ist. Wendet manauf irgend eine derselben das oben zur Herleitung der Charakteristikenaus einer partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung angegebene Ver-fahren an, so findet man wieder:

Adx + Bdy + Cdz = 0.

3. Endlich läßt sich leicht die endliche Gleichung aufstellen,nämlich:

z = x ■ <p (Ax + By + Cz) + y ■ (Ax + By + Cz).

Sie enthält zwei willkürliche Funktionen und ist von derselben All-gemeinheit, wie jede der beiden ersten Formen, deren gemeinsamesIntegral sie darstellt.

Auch hier schließt Monge einige Aufgaben über solche Flächenan, nämlich eine zu bestimmen, die durch zwei gegebene Kurven geht,oder eine, deren Mantellinien sämtlich zwei gegebene Flächen be-rühren; ferner eine Spezialisierung (Xr. 13) für den Fall, daß dieMantellinien alle der xy- Ebene parallel sind und die z- Achse treffen.Hier ergibt sich die Differentialgleichung, von der Meusnier Ge-brauch gemacht hat 1 !, nämlich:

rq 2 — 2pqs + tp 2 = 0.

Den Schluß bildet eine Bemerkung über das Vorkommen solcherFlächen in der Technik.

In Xr. 14 kommt sodann eine ausführliche Darlegung der Eigen-schaften der abwickelbaren Flächen. Durch analoge Überlegungenwie vorher wird die sie definierende Gleichung in drei verschiedenenFormen aufgestellt: 1. Als partielle Differentialgleichung 2. Ordnung,

2. als eine ebensolche 1. Ordnung mit einer willkürlichen Funktion,

3. als endliche Gleichung mit zwei willkürlichen Funktionen; und eswerden wieder die zwei gleichen Aufgaben wie oben für abwickelbareFlächen gelöst. Übrigens deckt sich der Inhalt dieses Blattes imwesentlichen mit der schon besprochenen Abhandlung von Mongeüber diesen Gegenstand 2 ).

') Siehe S. 550. *) Siehe S. 535 ff.

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