566

Abschnitt XXIV.

Nr. 15 behandelt nach denselben Methoden die Flächen, welchedurch Translation einer gegebenen Fläche längs einer ganz beliebigenKaumkurve (die also nicht mehr, wie in Xr. 10, auf einer gegebenenFläche angenommen wird) als Enveloppen entstehen. Die partielleDifferentialgleichung derselben ist von der Form:

, ( rt _ S 2 ) (J? j _ s*) - rR - 2sS - tT + 1 - 0.

R, S, T sind dabei gegebene Funktionen, die folgendermaßen mit dertransferierten Fläche Zusammenhängen: ist diese bestimmt durch

* = F ix, y),

c F d F

so kann man die beiden Gleichungen p — ^ und q = g -- nach x

und y aufgelöst denken, so daß also x — ^(jp, q) ■ y = q) ist.

Monge zeigt nun zunächst, daß = ist, daß also und f, als& o oq cp i ii

partielle Ableitungen einer Funktion von p und q, die er mit F be-zeichnet, angesehen werden können. R , S, T sind dann die partiellenAbleitungen 2. Ordnung von F nach p und q. — Ähnlich erledigtsich die Aufgabe, die Flächen zu bestimmen, die durch Translationeiner Raumkurve längs einer anderen Raumkurve erzeugt werden; amSchluß wird noch darauf hingewiesen, wie die entwickelten Methodenumgekehrt zur Integration einer partiellen Differentialgleichung dienenkönnen, welche die obige Form hat.

Xr. 17 und 18 bringen eine der schönsten Entdeckungen vonMonge, nämlich die Krümmungslinien einer Fläche. DieserTeil kann unbedenklich als der Glanzpunkt des ganzen Werks be-zeichnet werden, sowohl in bezug auf die hohe Bedeutung der Resul-tate, wie in bezug auf die Eleganz, Präzision und Klarheit der Ent-wicklung. Wir versuchen Monges Gedankengang in Kürze anzugeben.Er geht aus von den schon früher aufgestellten Xormalengleichungen:

(x — x) + (z — s)p = Ü; (y — y) + {z — z) q = 0,

und sucht die Bedingung dafür, daß diese von der Xormalen einesXachbarpunktes (x + dx, y + dy, z + pdx + qdy) geschnitten wird.Unter Berücksichtigung der obigen Gleichungen sind die Gleichungendieser Xachbarnormalen:

dx + p-dx + pqdy + (z — z')(rdx -f sdy) = 0,dy + pqdx + q~dy + \z — z')(sdx + tdy) = 0.

Die Bedingung, daß diese Xormale die erste schneidet, findet mandurch Elimination von (# — x), (y — y'), (z — z ) aus den vier Glei-chungen der beiden Xormalen. Da indes die letzten beiden nur noch