Raumkurven und Flächen.

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z — z enthalten, genügt es, z — z zu eliminieren, wodurch man er-hält:

+ i y x K'W)r-V+m-V+P*)s+P<I>- = 0.{l)

Eliminiert man umgekehrt l ~, so ergibt sich:

(z—z)(rt — s s )-K*-^[ll + 'i S )-“7 , 'Z s + (l+i ,2 j < J+l+i ;2 + 'E = 0. (2)Die beiden letzten Gleichungen werden nun geometrisch gedeutet.Die erste, die quadratisch in ^ ist, sagt, daß es zu jedem Flächen-punkt P zwei Nachbarpunkte P 1 und P 2 auf der Fläche gibt, derenNormalen die des Punktes P schneiden. Die Projektionen der Rich-tungen PP t und PP 2 auf die a-y-Ebene sind durch die Gleichung (1)bestimmt, aus der auch die bemerkenswerte Eigenschaft folgt, daßPl\ _ PPi ist. Die zweite liefert zwei Werte von z — z', also inVerbindung mit den Gleichungen der Normalen zwei Punkte aufdieser, wo sie von den Normalen der Punkte P t und P i geschnittenwird und die als „centres de courbure“ bezeichnet werden. Die Ab-stände dieser beiden Schnittpunkte ergeben sich als die Wurzeln derquadratischen Gleichung in li:

gli- + hlcPi + * 4 = 0,

wo:

g — rt — s 2 ; ** - 1 + p- + <f; h = (1 + q*)r - 2 P qs + (1 + p*)t.

Die beiden sich ergebenden Werte nennt Monge „rayons de cour-bure“; daß es die von Euler 1 ) gefundenen extremen Werte derKrümmungsradien der Normalschnitte sind, wird nicht bemerkt. Nunfolgt die geometrische Konstruktion der beiden orthogonalen Scharenvon Krümmungslinien, die man erhält, indem man von jedemFlächenpunkt zu den beiden Nachbarpunkten weitergeht, deren Nor-malen die seinige schneiden, von diesen ebenso zu dritten Punkten usf.Man erhält so zwei Scharen von Kurven, deren Projektionen auf die#f/-Ebene der Gleichung (1) genügen. Diese ist also die Differen-tialgleichung der Krümmungslinien. Sie läßt sich auch in dieForm setzen:

dp (dg + qdz) = dq(dx + pdz).

Es wird dann durch geometrische Überlegungen gezeigt, daß dieFlächennormalen längs jeder Krümmungslinie eine abwickelbare Flächebilden; daß also für jede Fläche zwei Scharen von solchen Flächen

‘) Vgl. S. 54G.