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Abschnitt XXVI.

Als Hauptvertreter der ersten Tendenz kann man d’Alembert undCarnot, als Hauptvertreter der zweiten kann man Lagrange nennen.

D’Alembert (1717 —1783, diese York, III 2 , S. 510) behauptet 1 ),das Unendliche der Analysis sei nichts anderes als die Grenze, welcherdas Endliche sich unbeschränkt nähert, ohne dieselbe jemals zu er-reichen. Sagt man also, die Größe:

1 + 2 + 4 + 8 +■ • • •

sei unendlich, so ist damit nur gemeint, daß mau stets so vieleGlieder der Folge annehmen kann, daß die Summe derselben eine be-liebig vorgeschriebene Größe übertrifft. Auf analoge Weise wird dasUnendlichkleine erklärt. Die Differentialrechnung setzt sich vor, dieGrenzwerte der Verhältnisse je zweier endlichen, durch bestimmteGesetze verbundenen Größen auszuwerten; sie hat nur mit endlichenGrößen zu tun; das Unendliche und das Unendlichkleine sind bloßKunstwörter, die die Mathematiker erfunden haben, um die Ergebnisseihrer Forschungen kürzer und einfacher aussprechen zu dürfen.

Dem d’Aleinbertschen Begriffe,nach welchem dielnfinitesimalrech-nung nur eine Grenzrechnung ist, schließt sich Käs tner (1719—18U0,diese Vorl., III 2 , S. 576, IV, S. 456) 2 ) an. Nimmt n unbeschränkt

zu, so hat cn,Jr ^ die Einheit zur Grenze: das läßt sich aber dadurch’ n n

ausdrüeken, daß man sagt, es dürfe die endliche Größe/; gegen die unend-liche Größe an vernachlässigt werden. Auf ähnliche Weise lassen sich dieunendlichen und die unendlichkleinen Größen der verschiedenen Ord-nungen rechtfertigen. Ist Z eine Funktion von z, welche für den Wertz + e von z den Wert Z -j- E annimmt, so heißt die Grenze, welcher

sich ^ bei abnehmenden E und c unbeschränkt nähert, das „Yer-

hältnis der Differentiale“ von Z und z\ E und e heißen die „Diffe-rentiale“. Auf Grund dieser Definition ergibt sich, unter der Voraus-setzung, daß n eine ganze positive Zahl bezeichnet und Z — z" ist:

lim — = )tz"~ l :e 1

diese Formel läßt sich auf jeden reellen Wert von n erstrecken.Weiter unten mischt aber Kästner in die Definition des Differentialsden Geschwindigkeitsbegriff ein. Die Differentiale dZ, dz von Z, z,sagt er, sind nicht die wirklichen Zuwächse dieser Größen, sonderndie Zuwächse, welche dieselben in einer bestimmten Zeit erhalten

') Melanges de litt., d’hist. et de philos., Xouv. ed., T. 5, Amster-dam 1707, p. 239—252; Encyclopedie methodique, Paris 1785, art. „Diffe-rentiel“. *) Anfangsgründe der Au. des Unendl., Halle, 1. Aufl. 1701,

2. Aufl. 1770.