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Abschnitt XXVI.

von den beiden letzteren Halbräumen der eine größer, der anderekleiner als einer der ersteren. Ferner kann der unendliche Kaumkeine Figur aufweisen; eine Figur setzt nämlich eine gewisse Ein-richtung der Grenzen voraus, das Unendliche aber läßt keine Grenzenzu. Noch unbegreiflicher ist das Unendlichkleine; es sollte dieseseine jedes Größencharakters entbehrende Größe sein. In der Infini-tesimalrechnung wird das Unendlichkleine bald als verschwindend,bald als nicht verschwindend betrachtet; jedoch gleichen sich dieRechnungen von selbst aus, da, was vernachlässigt wird, nicht unver-gleichbar, sondern genau gleich Null ist. Es empfiehlt sich also, dieInfinitesimalrechnung durch die Grenzmethode zu ersetzen, ohne je-doch die Ausdrucksweise und die Bezeichnungen der ersteren zu ver-lassen. Ob und wie Lhuilier seinen Gedanken ausgeführt hat,werden wir weiter unten sehen.

Die Berliner Preisfrage gab auch zu einer anderen Schrift Ver-anlassung, die aber der Akademie nicht vorgelegt wurde. WenzeslausJohann Gustav Karsten (s. o. S.74, 357), Professor der Mathematikund Naturlehre in Halle, geboren 17152, gestorben 1787, war damals mitder Abfassung seines Handbuches der Analysis und höherenGeometrie beschäftigt und wurde natürlich dazu geleitet, die auf-geworfene Frage zu berücksichtigen. Hieraus entstand die erste seinerMathematischen Abhandlungen, welche den folgenden Titelträ<ft: Vom Mathematisch-Unendlichen mit Rücksicht auf

O

eine im Jahre 1784 aufgegebene Preisfrage. Wenn der Mathe-matiker sagt, es sei = 0 für m = oo, so bedeutet das nach Karsten,

daß 1 bei zunehmendem m beständig abnimmt, und daß die Glei-

m

chumr — = 0 nur dann gelten würde, wenn m einen Wert erhielte,

n )n o

den es nicht erreichen kann, so lange man fortzählt. Auch das Un-endlichkleine ist bloß eine Redensart; die Regeln der Infinitesimal-rechnung lassen sich durch die Grenzmethode rechtfertigen, so daßes nutzlos erscheint, neue Methoden zu bilden, wie es die Akademieverlangt. Dieselben Begriffe, wenn auch unter einer etwas verändertenForm, finden sich in der fünften Abhandlung 0 wieder, deren Titelist: Vom Berührungswinkel und Krümmungskreise. Von denbeiden entgegengesetzten Meinungen, deren Hauptvertreter Clavius

') Die Titel der drei übrigen Abhandlungen lauten: 2. Von den Parallel-linien, und den neuerenBemühungen.dieTheorie davon zu ergänzen;3. Über eine Stelle in des Herrn Lamberts Briefwechsel, von ver-neinten und unmöglichen Wurzelgrößen; 4. Von den Logarithmender verneinten und unmöglichen Größen.