Abschnitt XXVI.
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Caluso widmet eine lange Abhandlung 1 ) der Verteidigung derFluxionsmetliode; er bekämpft besonders die Meinung, der Geschwin-digkeitsbegriff sei ein der reinen Analysis fremdartiges Element. Erversucht aber auch, den Grund der Richtigkeit der durch die Infini-tesimalmethode erhaltenen Resultate aufzudecken. Dazu bedient ersich der Rechnung mit unmöglichen Größen — so nennt er dieunendlichen und die unendlichkleinen Größen. Ist:
y = ax n + bx”' 1 + ■ • ■ + Ax,und dividiert man mit x”, so ist für x = cv:
y
x"
. b , A
o. -\- — —|— • . • —E — —. :
es ist aber:
folglich:
-- = ()••• A = 0OJ ' ’ ’
y
— = a.
Dividiert man dagegen mit x, so ist für x = Ö:
= a ■ 0"- 1 + l ■ 0"- 2 d-+ A = A.
X
Hieraus folgt die Regel, daß man für x = so nur das Glied mitdem größten, für x = 0 nur dasjenige mit dem kleinsten Exponentbeibehalten muß.
Es ist schon oben erwähnt worden, daß Lagrange den Versuchmachte, die Infinitesimalmethode durch eine neue Methode zu ersetzen.Es ist jetzt Zeit, seine Ideen auseinanderzusetzen.
Lagrange befolgt einen Weg, der dem gewöhnlichen umgekehrtist. In der Infinitesimalrechnung geht man nämlich von der aufGrenzbetrachtungen sich gründenden Definition der Ableitungen derersten und der höheren Ordnungen aus, um zum Beweis der Tay lorschenReihenentwicklung zu kommen, deren Koeffizienten die mit Zahlen-faktoren behafteten Ableitungen aller Ordnungen der zu entwickelndenFunktion sind. Ließe sich daher, so denkt Lagrange, die TaylorscheEntwicklung einer Funktion direkt auffinden, so könnte man aus der-selben sämtliche Ableitungen der Funktion ohne weiteres ablesen.
Nun gibt aber die Reihentheorie eine Entwicklung von der Form:
_ fix + i) = /'0) +l>i + -•