Die Grundlagen der Infinitesimalrechnung.

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Um indessen nichts unbewiesen zu lassen („rnais pour ne rienavaucer gratuitement“), will Lagrange vor allem zeigen — wasniemand vorher getan habe —, daß die Reihe, ausgenommen für be-sondere Werte von x, keine gebrochenen Exponenten enthalten darf.

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Käme nämlich eine gebrochene Potenz i n von i vor, so müßte sievon in f(x) existierenden Wurzelgrößen herrühren; f (x) wäre alsoeine mehrwertige Funktion, und die Ersetzung von x durch x + iwürde weder die Anzahl, noch die Beschaffenheit dieser Größen um-ändem, so daß f(x) und f(x + i) für jedes Wertepaar x, i eine gleicheAnzahl von verschiedenen Werten erhalten würden. Andererseits ließe

sich jeder Wert von f(x) mit jedem Werte von i " kombinieren, sodaß sich eine weit größere Anzahl von Werten für f(x + i) ergebenmüßte, woraus der Widerspruch.

Dieses vorausgeschickt, muß man beachten, daß, da sich f(x + i)für i = 0 auf f(x) reduziert, die Differenz fix + i) — f{x) für i = 0verschwindet, also eine positive Potenz von i als Faktor enthaltenmuß („ . . . sera ou pourra etre censee multipliee par une puissancepositive de i“), deren Exponent nach dem Gesagten notwendig ganz-zahlig ist. Man kann also schreiben:

f(x + i)= fix) + iP.

Eine analoge Schlußweise ergibt:

P = p + i Q, Q = l + iP, P = r + iS,. . .,

also:

(3) fix + 0 = fix) + ip + Pq + Pr + • • •.

Die Bestimmung von p , q,r, . . . läßt sich entweder durch direkteBerechnung, oder durch Fortschaftung der etwa vorkcmmenden Wurzel-größen, oder endlich durch die Methode der unbestimmten Koeffizientenbewerkstelligen. Ein Beispiel mag die Anwendung der drei Methodenerleuchten, wobei wir uns freilich, der Kürze wegen, auf die Berech-nung von p beschränken.

Es sei fix)=)/x. Man hat:

also:

a) i P = Yx + i — Yx =

i

]/x -f- i + y x ’

p =

i

yx -f- i -(- y x ’

p

i

2 yx’

b) Y x + * = Y x +

und für i = 0: