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Abschnitt XXVI.

also:

x + i = x + 2 iFj/x 4- PP 2 ,

oder:

1 = 2PYx + iP 2 ,

woraus für i = 0 abermals folgt:

1

c) Yx + i = Yx + ip -f i 2 q -,

also:

x -f- i = (Yx + ip + Pq + •••)"= * + 2 ipY x + i 2 (^qY x + P % ) H- ,

und hieraus durch Vergleichung der beiderseitigen Koeffizienten derersten Potenz von i:

^ 2 Yx

Ist so die Keihe (3) ermittelt worden, so muß man sehen, obsie konvergent ist. Betrachtet man i als die Abszisse, iP als dieOrdinate einer Linie, so geht diese durch den Koordinatenurspruug,und so lange dieser kein singulärer Punkt ist, nähert sich die Liniebeständig der Abszissenachse; es läßt sich folglich i so klein an-nehmen, daß iP kleiner sei als eine beliebig vorgegebene Größe. Esist also z. B. für hinreichend kleine Werte von i:

iP < f(x),

und man kann analog erhalten:

iQ<p, iü<q,...,

oder:

i*Q < ip, i 3 P < i' 2 q,

Es ist aber:

iP = ip + i 2 q + Pr + • ■ ■,

i 2 Q = Pq + Pr H-,

PR = Pr + • ■ •,

man kann also i so klein annehmen, daß für diesen Wert und um somehr für alle kleineren Werte von i jedes Glied der betrachtetenReihe größer ausfällt als die Summe aller darauffolgenden Glieder,womit die Konvergenz nachgewiesen ist.

Die Lagrangesche Methode erlaubt uns also, sämtliche Ablei-tungen einer Funktion durch rein algebraische Operationen zu erhalten.Leider gibt sie zu manchen Bedenken Anlaß, auf deren Erör-