Die Grundlagen der Infinitesimalrechnung.
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Nach Grüson ist seine Methode, die er noch vor der Heraus-gabe des Lag ran gesehen Werkes erfunden habe, einfacher und licht-voller als die der Infinitesimalrechnung, da sie sich nur wohlbekannteralgebraischer Prinzipien bedient. Man kann aber voraussehen, daßdie Einfachheit auf Kosten der Strenge erhalten wird. Wie es scheint,nimmt Grüson als selbstverständlich an, daß jede Funktion sichin eine Reihe von ganzen oder gebrochenen Potenzen der Veränder-lichen entwickeln läßt. Sein Verfahren ist folgendes. Ist F einePotenzreihe von x mit ganzen positiven Exponenten, so findet offen-bar dasselbe für F"‘ für jedes ganze und positive m statt; es läßt
sich ferner nachweisen, daß auch ~, und folglich , in eine solche
m
Reihe entwickelbar ist. Grüson will zeigen, daß F n dieselbe Formhat wie F. Da F m und F n gleiche Form haben, so muß dasselbe, sagt er,
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von F “ und F folgen. Da aber, fügt er am Ende seiner zweitenAbhandlung hinzu, mein Beweis einige Zweifel im Geiste der Geo-meter nachgelassen hat, so gebe ich einen zweiten an, der nichts zuwünschen übrig läßt. Enthielte die Entwicklung einer Funktion feine gebrochene Potenz von x, so würde diese Potenz ebenfalls in f rVorkommen, welche auch die ganze Zahl r sei. Nimmt man nun:
n
f — F , r = m
an, so folgt f r =F es würde sich dann ergeben, daß F n eine ge-brochene Potenz von x enthalten sollte, was unmöglich ist. DasResultat kann auch auf irrationale Potenzen einer Funktion F er-streckt werden, freilich aber auf Grund der folgenden Hilfssätze, die,wie leicht zu sehen, wesentlich der Grenztheorie angehören: Könnenx, y kleiner gemacht werden als jede angebbare gleichartige Größe,und ist:
A< 13 + x, A> 13- y,
so ist A = 13. Ist:
U = « 0 + a x x + a 2 x 2 + • • •,
I = b 0 + b t x + b 2 x~ -f- • • •,
11 = Cq c^x -f- C^X“ - f- • * ■,
ferner:
a o = Go a i = c i> • • •> a n = C n>
wo n eine bestimmte Zahl bezeichnet, und ist V für alle Werte vonx zwischen U und IF enthalten, so folgt:
6 0=«0> h l = «i, • • o a n-
Aus dem Gesagten läßt sich schließen, daß jede algebraische